Uji Kompetensi 6.2 bab 6 (Barisan dan Deret)
Halaman 218
Matematika Kelas 10 / X (Kelas 2)
Semester 1 K13
1. Untuk memeriksa sebuah barisan merupakan barisan geometri apakah cukup hanya dengan menentukan rasio dua suku berturutan? Jelaskan dengan menggunakan contoh!
Jawab:
Kita tidak cukup menentukan rasio, jika menentukan barisan geometri kita juga harus menentukan suku pertama. contoh U5 = 12
U8 = 96
S8 = ?
pertama kita harus menentukan r
U8 = U5.R³
96 = 12.R³
R³ = 96/12
R³ = 8
R = 2
kedua kita menentukan A atau suku pertamaU5=A.R^4
12 =A.2^4
A = 12/16
A = 3/4
Sn = a(rn-1)/r-1
S8 = 3/4 (28-1/ 2-1
= 3/4 (256-1)/1
= 3/4 (255)
= 191/4
2. Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke-10 dari barisan bilangan di bawah ini!
a. 1, 4, 16, 24, …
b. 5, 10, 20, 40, …
c. 9, 27, 81, 243, …
d. 251 , 15 , 1, 5, …
e. 81, 27, 9, 3, …
Jawab:
Dik:
a. 1, 4, 16, 24, …
b. 5, 10, 20, 40, …
c. 9, 27, 81, 243, …
d. 251 , 15 , 1, 5, …
e. 81, 27, 9, 3, …
Dit: Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke-10
Penyelesaian:
a. 1, 4, 16, 24(bukannya 64 ya?)
a = 1, r = 4/1 = 4
b. 5, 10, 20, 40
a = 5, r = 10/5 = 2
c. 9, 27, 81, 243
a = 9, r = 27/9 = 3
d. 1/25, 1/5, 1, 5
a = 1/25, r = 5/1 = 5
e. 81, 27, 9, 3
a = 81, r = 3/9 = 1/3 = 3⁻¹
U_{10}=3^{5-10}=1/243
3. Tentukan rasio dan suku pertama dari barisan geometri di bawah ini!
a. Suku ke-4 = 8 dan suku ke-6 = 729
b. Suku ke-2 = 6 dan suku ke-5 = 162
c. U3 = 10 dan U6 = 1,25
Jawab:
Dik:
a. Suku ke-4 = 8 dan suku ke-6 = 729
b. Suku ke-2 = 6 dan suku ke-5 = 162
c. U3 = 10 dan U6 = 1,25
Dit: Tentukan rasio dan suku pertama
Penyelesaian:
A) ar^3 = 8
ar^5 = 729
_________ :
1/r^2 = 8/729
r^2 = 729/8
r = √(729/8)
ga bulet hasilnya
b) ar = 6
ar^4 = 162
_________ :
1/r^3 = 6/162
r^3 = 162/6 = 27
r = 3
a = 2
c) ar^2 = 10
ar^5 = 5/4
___________ :
1/r^3 = 8
r^3 = 1/8
r = 1/2
a = 40
4. Selesaikan barisan geometri di bawah ini!
a. Suku ke- 4 = 27 dan suku ke-6 = 243 tentukan suku ke-8
b. U2 = 10 dan U6 = 10, tentukan U9
c. U2 = 2 akar2 dan U5 = 8, tentukan U10
Jawab:
Dik:
Dit:
Penyelesaian:
a.
U6=ar^5=243
U4=ar³=27
--------------------- :
r²=9
r=√9
r=3
a=1
Un=arⁿ-¹
Un=1.3ⁿ-¹
Un=3ⁿ-¹
U8=3^7=2187
b.
U6=ar^5=10
U2=ar=10
-------------------- :
r⁴=1
r=1
a=10
Un=arⁿ-¹
Un=10.1ⁿ-¹
Un=10
U9=10
C. U5 = ar^4
U5/U2 = r^3 = 8 / 2√2 --> r = √2
U2 = a(√2) = 2√2 --> a = 2
U10 = ar^9 = (2)(√2)^9 = 32√2
5. Tentukan hasil jumlah barisan bilangan di bawah ini!
a. 1, 2, 4, 8, 16, … (sampai 10 suku)
b. 54, 18, 6, 2, … (sampai 9 suku)
c. 5, (–15), 45, (–135), … (sampai 8 suku)
d. 1, 1, 3, 2, 9, 4, 27, 8, … (sampai 19 suku)
e. 8, 7, 9, 3, …, 271 , 811 = …
Jawab:
Dik:
a. 1, 2, 4, 8, 16, … (sampai 10 suku)
b. 54, 18, 6, 2, … (sampai 9 suku)
c. 5, (–15), 45, (–135), … (sampai 8 suku)
d. 1, 1, 3, 2, 9, 4, 27, 8, … (sampai 19 suku)
e. 8, 7, 9, 3, …, 271 , 811 = …
Dit: Tentukan hasil jumlah barisan
Penyelesaian:
6. Tentukan nilai x dari penjumlahan suku-suku barisan geometri 2 + 4 + 8 + … 2x = 2046
Jawab:
Dik: barisan geometri 2 + 4 + 8 + … 2x = 2046
Dit: Tentukan nilai x
Penyelesaian:
Deret geometri
a = 1
r = u2/a = 4/2 = 2
sn = 2046
sn = a(r^n -1) / (r-1)
2046 = 2(2^n -1) / (2-1)
2046/2 = 2^n -1
1023+1 = 2^n
1024 = 2^n
2^10 = 2^n
n = 10
jadi (2^x) adalah suku ke 10
un = a.r^(n -1)
un = 2.2^(n-1)
un = r^n
u10 = 2^10
2^x = 2^10
maka x = 10
7. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku ketiga ditambah 3 dan suku kedua dikurangi 1, diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah 8, maka hasilnya menjadi 5 kali suku pertama. Tentukan beda dari barisan aritmetika tersebut!
Jawab:
Dik: suku ketiga ditambah 3 dan suku kedua dikurangi 1, diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah 8, maka hasilnya menjadi 5 kali suku pertama
Dit: Tentukan beda dari barisan aritmetika tersebut
Penyelesaian:
BA : a-b,a,a+b
BG a-b,a-1, a+b+3 berarti (a-1)²=(a-b)(a+b+3)
<=> a²-2a+1= a²+ab+3a-ab-b²-3b
<=> -5a+1= -b²-3b
<=> 5a= b²+3b+1..(.1)
a+b+8 = 5(a-b)<=> a+b+8 = 5a-5b <=> 4a-6b = 8<=> 2a - 3b = 4.. (2)
pers satu dikali 2 dan pers dua dikali 5 dieliminasi shg didapat 2b²-9b-18=0
(2b+3)(b-6)=0
b= - 3.2 maka a = - 1/2
b = 6 maka a = 11
8. Tiga bilangan positif membentuk barisan geometri dengan rasio r > 1. Jika suku tengah ditambah 4, maka terbentuk sebuah barisan aritmetika yang jumlahnya 30. Tentukan Hasil kali dari ketiga bilangan tersebut!
Jawab:
Dik: Tiga bilangan positif membentuk barisan geometri dengan rasio r > 1. Jika suku tengah ditambah 4, maka terbentuk sebuah barisan aritmetika yang jumlahnya 30
Dit: Tentukan Hasil kali dari ketiga bilangan tersebut!
Penyelesaian:
Misalnya bilangan yang dimaksud adalah : p/r , p dan pr
suku tengah ditambah 4 ----> p/r , p+4 , pr ..... barisan arimetika dg jumlah 30
p+4 - (p/r) = pr - (p+4)
2p + 8 = pr + p/r ....... pers(1)
p/r + p+4 + pr = 30
p+4 + p/r + pr = 30 .....pers(2)
subitusi pers(1) ke pers(2)
p+4 + 2p + 8 = 30
3p + 12 = 30
3p = 18
p = 6
hasil kali tiga bilangan tersebut = p/r x p x pr = p³ = 6³ = 216
9. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 8m dan memantul kembali dengan ketinggian 3/5 kali tinggi sebelumnya Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Berapakah jarak lintasan seluruhnya?
Jawab:
Dik:
Dit:
Penyelesaian:
Geometri tak hingga
a = 8, r = 3/5
U2 = a.r = 8(3/5) = 24/5 ---->pantulan 1
S = a/(1 – r)
karena naik dan turun
Panjang Lintasan
= a + (2U2/(1 – r))
= 8 + (2(24/5)/(1 – 3/5))
= 8 + (48/5)/(2/5)
= 8 + 24
= 32 m
Cara cepatnya
Panjang lintasan
=8×(5+3)/(5-3)
=8×4
=32 m
10. Pertumbuhan penduduk biasanya dinyatakan dalam persen. Misalnya, pertumbuhan penduduk adalah 2% per tahun artinya jumlah penduduk bertambah sebesar 2% dari jumlah penduduk tahun sebelumnya. Pertambahan penduduk menjadi dua kali setiap 10 tahun. Jumlah penduduk desa pada awalnya 500 orang, berapakah jumlah penduduknya setelah 70 tahun apabila pertumbuhannya 2.5%?
Jawab:
Dik: berapakah jumlah penduduknya setelah 70 tahun apabila pertumbuhannya 2.5%?
Dit:
Penyelesaian:
Jumlah awal = 500
setiap thn bertambah 2.5% = 2.5/100*500 = 12.5
un = a+(n-1).b
u70 = 500+(70-1)*12,5
= 1362.5 /1363
11. Pertumbuhan ekonomi biasanya dalam persen. Misalnya, pertumbuhan ekonomi suatu negara sebesar 5% per tahun artinya terjadi pertambahan Produk Domestik Bruto (PDB) sebesar 5% dari PDB tahun sebelumnya. Berdasarkan analisis, ekonomi Indonesia akan mengalami pertumbuhan sebesar 6.5% per tahun selama tiga tahun ke depan. Tentukan PDB pada tahun ketiga apabila PDB tahun ini PDB-nya sebesar 125 triliun rupiah.
Jawab:
Dik:
Dit: Tentukan PDB pada tahun ketiga apabila PDB tahun ini PDB-nya sebesar 125 triliun rupiah
Penyelesaian:
U₃ = a (r⁴⁻¹)
= (125 Triliun Rupiah) (106,5%)³
= (125 Triliun Rupiah) (1,2079)
= 150,9875 Trilliun Rupiah
Jadi besar dari PDB pada tahun ketiga adalah 150,9875
12. Jika barisan x1, x2 , x3,… memenuhi x1 + x2 + x3 + ... + xn = n^3, untuk semua n bilangan asli, maka x100 = ....
Jawab:
Dik:
barisan x1, x2 , x3,… memenuhi x1 + x2 + x3 + ... + xn = n^3
Dit: maka x100 =
Penyelesaian:
x1 = 1^3
x1 = 1
Untuk fungsi lainnya:
2^3 = x1 + x2
8 = 1 + x2
x2 = 7
3^3 = x1 + x2 + x3
27 = 1 + 7 + x3
x3 = 19
Dengan mengambil sebuah kesimpulan, akan didapat:
xn = n^3 - (n-1)^3
berlaku:
x100
= 100^3 - (100-1)^3
= 100^3 - 99^3
= 1.000.000 - 970.299
= 29.701
13. Kenaikan harga barang-barang disebut inflasi. Berdasarkan analisis, ekonomi Indonesia akan mengalami inflasi sebesar 8% per tahun selama 5 tahun mendatang. Apabila harga emas sekarang ini adalah Rp200.000,00 per gram, tentukan harga emas tersebut empat tahun lagi.
Jawab:
Dik:
Dit: tentukan harga emas tersebut empat tahun lagi
Penyelesaian:
Inflasi 8% = 0,08
100% = 1
harga emas tahun depan = (1 +0,08) x 200.000 = 216.000
harga 2 tahun lagi = (1+0,08)x216.000 = 233.280
harga 3 tahun lagi = (1 + 0,08) x 233.280 = 251.942
harga 4 tahun lagi = (1 + 0,08) x 251.942 = 272.098
Halaman 218
Matematika Kelas 10 / X (Kelas 2)
Semester 1 K13
1. Untuk memeriksa sebuah barisan merupakan barisan geometri apakah cukup hanya dengan menentukan rasio dua suku berturutan? Jelaskan dengan menggunakan contoh!
Jawab:
Kita tidak cukup menentukan rasio, jika menentukan barisan geometri kita juga harus menentukan suku pertama. contoh U5 = 12
U8 = 96
S8 = ?
pertama kita harus menentukan r
U8 = U5.R³
96 = 12.R³
R³ = 96/12
R³ = 8
R = 2
kedua kita menentukan A atau suku pertamaU5=A.R^4
12 =A.2^4
A = 12/16
A = 3/4
Sn = a(rn-1)/r-1
S8 = 3/4 (28-1/ 2-1
= 3/4 (256-1)/1
= 3/4 (255)
= 191/4
2. Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke-10 dari barisan bilangan di bawah ini!
a. 1, 4, 16, 24, …
b. 5, 10, 20, 40, …
c. 9, 27, 81, 243, …
d. 251 , 15 , 1, 5, …
e. 81, 27, 9, 3, …
Jawab:
Dik:
a. 1, 4, 16, 24, …
b. 5, 10, 20, 40, …
c. 9, 27, 81, 243, …
d. 251 , 15 , 1, 5, …
e. 81, 27, 9, 3, …
Dit: Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke-10
Penyelesaian:
a. 1, 4, 16, 24(bukannya 64 ya?)
a = 1, r = 4/1 = 4
b. 5, 10, 20, 40
a = 5, r = 10/5 = 2
c. 9, 27, 81, 243
a = 9, r = 27/9 = 3
d. 1/25, 1/5, 1, 5
a = 1/25, r = 5/1 = 5
e. 81, 27, 9, 3
a = 81, r = 3/9 = 1/3 = 3⁻¹
3. Tentukan rasio dan suku pertama dari barisan geometri di bawah ini!
a. Suku ke-4 = 8 dan suku ke-6 = 729
b. Suku ke-2 = 6 dan suku ke-5 = 162
c. U3 = 10 dan U6 = 1,25
Jawab:
Dik:
a. Suku ke-4 = 8 dan suku ke-6 = 729
b. Suku ke-2 = 6 dan suku ke-5 = 162
c. U3 = 10 dan U6 = 1,25
Dit: Tentukan rasio dan suku pertama
Penyelesaian:
A) ar^3 = 8
ar^5 = 729
_________ :
1/r^2 = 8/729
r^2 = 729/8
r = √(729/8)
ga bulet hasilnya
b) ar = 6
ar^4 = 162
_________ :
1/r^3 = 6/162
r^3 = 162/6 = 27
r = 3
a = 2
c) ar^2 = 10
ar^5 = 5/4
___________ :
1/r^3 = 8
r^3 = 1/8
r = 1/2
a = 40
4. Selesaikan barisan geometri di bawah ini!
a. Suku ke- 4 = 27 dan suku ke-6 = 243 tentukan suku ke-8
b. U2 = 10 dan U6 = 10, tentukan U9
c. U2 = 2 akar2 dan U5 = 8, tentukan U10
Jawab:
Dik:
Dit:
Penyelesaian:
a.
U6=ar^5=243
U4=ar³=27
--------------------- :
r²=9
r=√9
r=3
a=1
Un=arⁿ-¹
Un=1.3ⁿ-¹
Un=3ⁿ-¹
U8=3^7=2187
b.
U6=ar^5=10
U2=ar=10
-------------------- :
r⁴=1
r=1
a=10
Un=arⁿ-¹
Un=10.1ⁿ-¹
Un=10
U9=10
C. U5 = ar^4
U5/U2 = r^3 = 8 / 2√2 --> r = √2
U2 = a(√2) = 2√2 --> a = 2
U10 = ar^9 = (2)(√2)^9 = 32√2
5. Tentukan hasil jumlah barisan bilangan di bawah ini!
a. 1, 2, 4, 8, 16, … (sampai 10 suku)
b. 54, 18, 6, 2, … (sampai 9 suku)
c. 5, (–15), 45, (–135), … (sampai 8 suku)
d. 1, 1, 3, 2, 9, 4, 27, 8, … (sampai 19 suku)
e. 8, 7, 9, 3, …, 271 , 811 = …
Jawab:
Dik:
a. 1, 2, 4, 8, 16, … (sampai 10 suku)
b. 54, 18, 6, 2, … (sampai 9 suku)
c. 5, (–15), 45, (–135), … (sampai 8 suku)
d. 1, 1, 3, 2, 9, 4, 27, 8, … (sampai 19 suku)
e. 8, 7, 9, 3, …, 271 , 811 = …
Dit: Tentukan hasil jumlah barisan
Penyelesaian:
6. Tentukan nilai x dari penjumlahan suku-suku barisan geometri 2 + 4 + 8 + … 2x = 2046
Jawab:
Dik: barisan geometri 2 + 4 + 8 + … 2x = 2046
Dit: Tentukan nilai x
Penyelesaian:
Deret geometri
a = 1
r = u2/a = 4/2 = 2
sn = 2046
sn = a(r^n -1) / (r-1)
2046 = 2(2^n -1) / (2-1)
2046/2 = 2^n -1
1023+1 = 2^n
1024 = 2^n
2^10 = 2^n
n = 10
jadi (2^x) adalah suku ke 10
un = a.r^(n -1)
un = 2.2^(n-1)
un = r^n
u10 = 2^10
2^x = 2^10
maka x = 10
7. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku ketiga ditambah 3 dan suku kedua dikurangi 1, diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah 8, maka hasilnya menjadi 5 kali suku pertama. Tentukan beda dari barisan aritmetika tersebut!
Jawab:
Dik: suku ketiga ditambah 3 dan suku kedua dikurangi 1, diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah 8, maka hasilnya menjadi 5 kali suku pertama
Dit: Tentukan beda dari barisan aritmetika tersebut
Penyelesaian:
BA : a-b,a,a+b
BG a-b,a-1, a+b+3 berarti (a-1)²=(a-b)(a+b+3)
<=> a²-2a+1= a²+ab+3a-ab-b²-3b
<=> -5a+1= -b²-3b
<=> 5a= b²+3b+1..(.1)
a+b+8 = 5(a-b)<=> a+b+8 = 5a-5b <=> 4a-6b = 8<=> 2a - 3b = 4.. (2)
pers satu dikali 2 dan pers dua dikali 5 dieliminasi shg didapat 2b²-9b-18=0
(2b+3)(b-6)=0
b= - 3.2 maka a = - 1/2
b = 6 maka a = 11
8. Tiga bilangan positif membentuk barisan geometri dengan rasio r > 1. Jika suku tengah ditambah 4, maka terbentuk sebuah barisan aritmetika yang jumlahnya 30. Tentukan Hasil kali dari ketiga bilangan tersebut!
Jawab:
Dik: Tiga bilangan positif membentuk barisan geometri dengan rasio r > 1. Jika suku tengah ditambah 4, maka terbentuk sebuah barisan aritmetika yang jumlahnya 30
Dit: Tentukan Hasil kali dari ketiga bilangan tersebut!
Penyelesaian:
Misalnya bilangan yang dimaksud adalah : p/r , p dan pr
suku tengah ditambah 4 ----> p/r , p+4 , pr ..... barisan arimetika dg jumlah 30
p+4 - (p/r) = pr - (p+4)
2p + 8 = pr + p/r ....... pers(1)
p/r + p+4 + pr = 30
p+4 + p/r + pr = 30 .....pers(2)
subitusi pers(1) ke pers(2)
p+4 + 2p + 8 = 30
3p + 12 = 30
3p = 18
p = 6
hasil kali tiga bilangan tersebut = p/r x p x pr = p³ = 6³ = 216
9. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 8m dan memantul kembali dengan ketinggian 3/5 kali tinggi sebelumnya Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Berapakah jarak lintasan seluruhnya?
Jawab:
Dik:
Dit:
Penyelesaian:
Geometri tak hingga
a = 8, r = 3/5
U2 = a.r = 8(3/5) = 24/5 ---->pantulan 1
S = a/(1 – r)
karena naik dan turun
Panjang Lintasan
= a + (2U2/(1 – r))
= 8 + (2(24/5)/(1 – 3/5))
= 8 + (48/5)/(2/5)
= 8 + 24
= 32 m
Cara cepatnya
Panjang lintasan
=8×(5+3)/(5-3)
=8×4
=32 m
10. Pertumbuhan penduduk biasanya dinyatakan dalam persen. Misalnya, pertumbuhan penduduk adalah 2% per tahun artinya jumlah penduduk bertambah sebesar 2% dari jumlah penduduk tahun sebelumnya. Pertambahan penduduk menjadi dua kali setiap 10 tahun. Jumlah penduduk desa pada awalnya 500 orang, berapakah jumlah penduduknya setelah 70 tahun apabila pertumbuhannya 2.5%?
Jawab:
Dik: berapakah jumlah penduduknya setelah 70 tahun apabila pertumbuhannya 2.5%?
Dit:
Penyelesaian:
Jumlah awal = 500
setiap thn bertambah 2.5% = 2.5/100*500 = 12.5
un = a+(n-1).b
u70 = 500+(70-1)*12,5
= 1362.5 /1363
11. Pertumbuhan ekonomi biasanya dalam persen. Misalnya, pertumbuhan ekonomi suatu negara sebesar 5% per tahun artinya terjadi pertambahan Produk Domestik Bruto (PDB) sebesar 5% dari PDB tahun sebelumnya. Berdasarkan analisis, ekonomi Indonesia akan mengalami pertumbuhan sebesar 6.5% per tahun selama tiga tahun ke depan. Tentukan PDB pada tahun ketiga apabila PDB tahun ini PDB-nya sebesar 125 triliun rupiah.
Jawab:
Dik:
Dit: Tentukan PDB pada tahun ketiga apabila PDB tahun ini PDB-nya sebesar 125 triliun rupiah
Penyelesaian:
U₃ = a (r⁴⁻¹)
= (125 Triliun Rupiah) (106,5%)³
= (125 Triliun Rupiah) (1,2079)
= 150,9875 Trilliun Rupiah
Jadi besar dari PDB pada tahun ketiga adalah 150,9875
12. Jika barisan x1, x2 , x3,… memenuhi x1 + x2 + x3 + ... + xn = n^3, untuk semua n bilangan asli, maka x100 = ....
Jawab:
Dik:
barisan x1, x2 , x3,… memenuhi x1 + x2 + x3 + ... + xn = n^3
Dit: maka x100 =
Penyelesaian:
x1 = 1^3
x1 = 1
Untuk fungsi lainnya:
2^3 = x1 + x2
8 = 1 + x2
x2 = 7
3^3 = x1 + x2 + x3
27 = 1 + 7 + x3
x3 = 19
Dengan mengambil sebuah kesimpulan, akan didapat:
xn = n^3 - (n-1)^3
berlaku:
x100
= 100^3 - (100-1)^3
= 100^3 - 99^3
= 1.000.000 - 970.299
= 29.701
13. Kenaikan harga barang-barang disebut inflasi. Berdasarkan analisis, ekonomi Indonesia akan mengalami inflasi sebesar 8% per tahun selama 5 tahun mendatang. Apabila harga emas sekarang ini adalah Rp200.000,00 per gram, tentukan harga emas tersebut empat tahun lagi.
Jawab:
Dik:
Dit: tentukan harga emas tersebut empat tahun lagi
Penyelesaian:
Inflasi 8% = 0,08
100% = 1
harga emas tahun depan = (1 +0,08) x 200.000 = 216.000
harga 2 tahun lagi = (1+0,08)x216.000 = 233.280
harga 3 tahun lagi = (1 + 0,08) x 233.280 = 251.942
harga 4 tahun lagi = (1 + 0,08) x 251.942 = 272.098
