Jawaban Uji Kompetensi 3.1 Bab 3 Matematika Kelas XI Halaman 107

Uji Kompetensi 3.1

Halaman 107
Matematika Bab 3 Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers 
Kelas XI/11
Semester 1

1. Suatu pabrik kertas berbahan dasar kayu memproduksi kertas melalui dua tahap. Tahap pertama dengan menggunakan mesin I yang menghasilkan bahan kertas  setengah jadi, dan tahap kedua dengan menggunakan mesin II yang menghasilkan bahan kertas. Dalam produksinya mesin I menghasilkan bahan setengah jadi dengan mengikuti fungsi f(x) = 0,7x + 10 dan pada mesin II terdapat bahan campuran lain sehingga mengikuti fungsi g(x) = 0,02x2 + 12x, x merupakan banyak bahan dasar kayu dalam satuan ton.
a) Jika bahan dasar kayu yang tersedia untuk suatu produksi sebesar 50 ton, berapakah kertas yang dihasilkan? (kertas dalam satuan ton).
b) Jika bahan setengah jadi untuk kertas yang dihasilkan oleh mesin I sebesar 110 ton, berapa ton kah kayu yang sudah terpakai? Berapa banyak kertas yang dihasilkan?
Jawab:

Dik: f(x) = 0,7x + 10, g(x) = 0,02x2 + 12x,
Dit: a) Jika bahan dasar kayu yang tersedia untuk suatu produksi sebesar 50 ton, berapakah kertas yang dihasilkan? (kertas dalam satuan ton).b) Jika bahan setengah jadi untuk kertas yang dihasilkan oleh mesin I sebesar 110 ton, berapa ton kah kayu yang sudah terpakai? Berapa banyak kertas yang dihasilkan?
Penyelesaian:
X = 50 ton bahan dasar
a. ke fungsi f(x) = 0,7x + 10
             f(50) = 0,7. 50 + 10 = 35 +10 = 45 ton (bahan setengah jadi)
   ke fungsi  g(x) = 0,02x^2 + 12x
               g(45) = 0,02. 45^2 + 12(45)
                       = 40,5 + 540 = 580.5 ton kertas

b.    f (x)= 0,7 x + 10
     10 y = 7x + 100
         x = (10y -100)/ 7
f⁻¹ (x) = (10x -100)/ 7
f⁻¹ (110) = (10 . 110  -  100)/ 10 = (1100 -100)/7 = 1000/7 = 142,86 ton  kayu
menghasilkan
g(x) = 0,02x^2 + 12x
       = 0,02(142,86)² + 12 (142,86)
       = 0,02 . 20408.9796 +  1714.32 =408.179592 +  1714.32 = 2122.499592 ton kertas

2. Diketahui fungsi f(x) = x −3/x , x ≠ 0 dan g(x) = x2 9 − . Tentukan  rumus fungsi berikut bila terdefinisi dan tentukan daerah asal dan daerah hasilnya.
a) (f + g)(x) 
b)  (f – g)(x)
c)  (f × g )(x) 
d)  (f/g) x
Jawab:

Dik: f(x) = x −3/x , x ≠ 0 dan g(x) = x2 9 − 
Dit: a) (f + g)(x) b)  (f – g)(x)
c)  (f × g )(x) 
d)  (f/g) x
Penyelesaian:
Jika f dan g adalah dua buah fungsi yang diketahui maka jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi kedua fungsi tersebut adalah
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f - g)(x) = f(x) - g(x)
(f . g)(x) = f(x) . g(x)
(f / g)(x) = f(x) / g(x).
Domain atau daerah asal, kodomain atau daerah kawan, dan range atau daerah hasil.
Mari kita lihat soal tersebut.
Diketahui fungsi f(x) = (x - 3)/x, x ≠ 0 dan g(x) = √(x² - 9).
(f + g)(x)
= f(x) + g(x)
= (x - 3)/x + √(x² - 9)
= (x - 3)/x + x√(x² - 9)/x
= [(x - 3) + x√(x² - 9)]/x
Domainnya D(f + g) = {x|x ≠ 0, x ∈ R}
Rangenya R(f + g) = {y| y ∈ R}
(f - g)(x)
= f(x) - g(x)
= (x - 3)/x - √(x² - 9)
= (x - 3)/x - x√(x² - 9)/x
= [(x - 3) - x√(x² - 9)]/x
Domainnya D(f - g) = {x|x ≠ 0, x ∈ R}
Rangenya R(f - g) = {y| y ∈ R}
(f . g)(x)
= f(x) . g(x)
= (x - 3)/x . √(x² - 9)
= [(x - 3)√(x² - 9)]/x
Domainnya D(f . g) = {x|x ≠ 0, x ∈ R}
Rangenya R(f .g) = {y| y ∈ R}
(f / g)(x)
= f(x) / g(x)
= [(x - 3)/x] / √(x² - 9)
= (x - 3)/[x√(x² - 9)]
Domainnya D(f / g) = {x|x ≠ 0, x ∈ R}
Rangenya R(f / g) = {y| y ∈ R}

3. Misalkan f fungsi yang memenuhi  untuk f xx fx x11 2     +−= ()  setiap x ≠ 0. Tentukanlah nilai f(2).
Jawab:

Dik: f xx fx x11 2     +−= ()  setiap x ≠ 0
Dit: nilai f(2)
Penyelesaian:
Diketahui
f+ × f(-x) = 2x, x ≠ 0
untuk x = -2, diperoleh


⇔  ... (1)
untuk x =1/2 , diperoleh


⇔  ... (2)
Dengan menggunakan metode eliminasi, persamaan (1) dan (2) kita eliminasi , sehingga 






___________________________-
⇔ - f(2) - f(2) = -8 - 1
⇔ -2f(2) = -9
⇔ f(2) =
Jadi, nilai f(2) sama dengan .

4. Diketahui fungsi f: R→R dengan f(x) = x2 – 4x + 2 dan fungsi g: R→R dengan g(x) = 3x – 7. 
a) (g ◦ f )(x)
c) (g ◦ f )(5)
b) (f ◦ g)(x)
d) (f ◦ g)(10)
Jawab:

Dik: f: R→R dengan f(x) = x2 – 4x + 2 dan fungsi g: R→R dengan g(x) = 3x – 7
Dit: a) (g ◦ f )(x)c) (g ◦ f )(5)
b) (f ◦ g)(x)
d) (f ◦ g)(10)
Penyelesaian:

5. Jika f(xy) = f(x + y) dan f(7) = 7. Tentukanlah nilai f(49)!
Jawab:

Dik: f(xy) = f(x + y) dan f(7)
Dit: nilai f(49)
Penyelesaian:f (xy) = f (x + y)f (7) = 7
f (xy) = f (x + y)
f (7) = 7

f (49) = f (7 .7)
         = f (7 + 7)
         = f (7 . 2)
         = f (7 + 2)
         = f (3 . 3)
         = f (3 + 3)
         =  f (6)
         = f (6 + 1)
         = f (7)
         = 7

6. Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(1,5), (2,6), (3,-1), (4,8)} g = {(2,-1), (1,2), (5,3), (6,7)} Tentukanlah

a) (g ◦ f )(x)
b) (f ◦ g)(x)
Jawab:

Dik:
f = {(1,5), (2,6), (3,-1), (4,8)}
g = {(2,-1), (1,2), (5,3), (6,7)}
Dit:
a) (g ◦ f )(x)
b) (f ◦ g)(x)
Penyelesaian:
a. (gof)((x) = g(f(x))
g(f(1)) = g(5) = 3
g(f(2)) = g(6) = 7
g(f(3)) = g(-1) = tidak ada
g(f(4)) = g(8) = tidak ada
Silakan lihat lampiran 1.

b. (fog)(x) = f(g(x))
f(g(1)) = f(2) = 6
f(g(2)) = f(-1) = tidak ada
f(g(5)) = f(3) = -1
f(g(6)) = f(7) = tidak ada
Silakan lihat lampiran 2.

7. Jika f fungsi yang memenuhi persamaan f(1) = 4 dan f(x+1) = 2 f(x). Tentukanlah f(2014)!
Jawab:

Dik: f(1) = 4 dan f(x+1) = 2 f(x)
Dit: f(2014)
Penyelesaian:
f(1) = 4 = 2^2
Untuk f(2) = f(1+1)
f(2) = 2f(1)
f(2) = 2.4 = 8 = 2^3
Sama halnya dengan f(3) dan seterusnya,
f(3) = 2f(2) = 8.2 = 16 = 2^4
......
f(n) = 2^(n+1)
Sehingga,
f(2014) = 2^(2014+1)
f(2014) = 2^2015

8. Jika fx x+ x () = − 1 1 dan x2 ≠ 1, buktikanlah bahwa f(-x)=1/f(x)
Jawab:

Dik: fx x+ x () = − 1 1 dan x2 ≠ 1
Dit: buktikanlah bahwa f(-x)=1/f(x)
Penyelesaian:
F(x)=(x+1)/(x-1)
f(-x)=(-x+1)/(-x-1)
f(-x)=-1(x-1)/-1(x+1)
f(-x)=(x-1)/(x+1)
f(-x)=1/((x+1)/(x-1))
f(-x)=1/f(x)

9. Untuk pasangan fungsi yang diberikan tentukanlah daerah asal dan daerah hasil fungsi komposisi (g ◦ f )(x).
a) f (x) = 2x dan g(x) = sin x
b) f (x) = -x dan g(x) = ln x
c) f(x) =1 x dan g(x) = 2 sin x
Jawab:

Dik: fungsi komposisi (g ◦ f )(x)
Dit: a) f (x) = 2x dan g(x) = sin xb) f (x) = -x dan g(x) = ln x
c) f(x) =1 x dan g(x) = 2 sin x
Penyelesaian:
a. gof(x)=g(f(x))
=g(2x)=sin 2x
b. gof(x)=g(f(x))
=g(-x)=sin -x =- sin x
c. gof(x)=g(f(x))
=g(1/x)=2 sin 1/x

10. Jika f(x) = 22x + 2x+1 – 3 dan g(x) = 2x + 3. Tentukanlah nilai f(x)/g(x)
Jawab:

Dik: f(x) = 22x + 2x+1 – 3 dan g(x) = 2x + 3
Dit: f(x)/g(x)
Penyelesaian:
F(x) =  2^2x + 2^x+1 - 3
g(x) = 2^x + 3
f(x) / g(x) = ( 2^2x + 2^(x+1) - 3 )  /  (2^x + 3)
=  ( (2^x)^2 + 2^x . 2 - 3 ) / (2^x + 3)
misal 2^x = p maka
f(x) / g(x) = (p^2 + p . 2 - 3) / (p + 3)
= (p^2 + 2p - 3) / (p + 3)
= (p + 3)(p - 1) / (p + 3)
= p - 1
sehingga untuk p = 2^x maka
f(x)/g(x) = p - 1 = 2^x - 1

11. Diketahui fungsi f(x) = 2x+2 × 6x-4 dan g(x) = 12x-1 untuk x bilangan  asli. Tentukanlah nilai f(x)/g(x)
Jawab:

Dik: f(x) = 2x+2 × 6x-4 dan g(x) = 12x-1 untuk x bilangan  asli
Dit:  f(x)/g(x)
Penyelesaian:
f(x) = 2^x+2  x  6^x-4
g(x) = 12^x-1
f(x)/g(x) = (2^x+2 x 6^x-4) / 12^x-1
= (2^x+2)(6^x-4) / (2^x-1)(6^x-1)
= (2^x-x+2+1) (6^x-x-4+1)
= 2^3 (6^-3)
= 2^3 . 2^-3 . 3^-3
=  3^-3
= 1/3^3
=1/27

12. Diketahui (g ◦ f)(x) = 4x2 + 4x dan g(x) = x2 – 1. Tentukanlah nilai f(x –2).
Jawab:

Dik: (g ◦ f)(x) = 4x2 + 4x dan g(x) = x2 – 1
Dit: f(x –2)
Penyelesaian:
(g o f) (x) = 4x^2 + 4x
g(x) = x^2 - 1
(g o f) (x) = g(f(x))
4x^2 + 4x = (f(x))^2 - 1
(f(x))^2 = 4x^2 + 4x + 1
(f(x))^2 = (2x + 1)^2
f(x) = 2x + 1
f(x-2) = 2(x-2) + 1 = 2x - 4 + 1 = 2x - 3