Uji Kompetensi 7.1 Bab 7 (Persamaan dan Fungsi Kuadrat)
Halaman 13
Matematika (MTK)
Kelas X (10) SMA/SMK/MAK
Semester 2 K13
1. Apakah persamaan yang diberikan merupakan persamaan kuadrat? Berikan alasanmu!
a) x²y =0, y € R, y =0.
b) x + 1/x = 0, x = 0.
Jawab:
Penyelesaian:
Suatu persamaan yang ekuivalen dengan persamaan yang berbentuk
ax² + bx + c = 0
dengan a, b, dan c bilangan real dan a ≠ 0 dinamakan persamaan kuadrat satu variabel (peubah), persamaan berderajat dua atau di singkat persamaan kuadrat.
Dalam persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, x dinamakan variabel (peubah), a dinamakan koefisien x², b dinamakan koefisien x, dan c dinamakan konstanta.
Mari kita lihat soal tersebut.
a) x²y = 0, y ∈ R dan y ≠ 0 (di soal tersebut salah bila ditulis y = 0)
Persamaan tersebut bukan persamaan kuadrat, karena memiliki dua variabel (peubah) x dan y.
b) x + 1/x = 0, x ≠ 0 (di soal tersebut salah bila ditulis x = 0).
⇔x + 1/x = 0 (kita kalikan kedua ruas dengan x)
⇔x² + 1 = 0
Persamaan tersebut merupakan jenis persamaan kuadrat sejati (asli).
________________________________________
2. Robert berangkat ke sekolah mengendarai sepeda. Jarak sekolah dari rumahnya 12 km. Robert berangkat dengan kecepatan awal sepeda bergerak 7 km/jam. Karena Robert semakin lelah, kecepatan sepedanya mengalami perlambatan 2 km/jam. Berapa lama waktu yang digunakan Robert sampai di sekolah.
Jawab:
Cari vt terlebih dahulu:
vt² = vo² + 2as
vt² = 7² - 2 (2) (12)
vt² = 49 - 48
vt² = 1 km/jam
vt = 1 km/jam
vt = vo +at
1 = 7 -2t
2t = 6
t = 3 jam
________________________________________
3. Pada sebuah kerucut lingkaran tegak diketahui bahwa: penambahan volume karena jari-jarinya ber-tambah sepanjang 24 cm sama dengan penambahan volume ka-rena tingginya bertambah 24 cm. Jika tinggi semula kerucut 3 cm, berapakah jari-jari kerucut semula ?
Jawab:
t = 3 cm
Maka, dari definisi soal:
________________________________________
4. Dua buah jenis printer komputer akan digunakan untuk mencetak satu set buku. Jenis printer pertama, 1/x jam lebih cepat dari jenis printer kedua untuk menyelesaikan cetakan satu set buku. Jika kedua jenis printer digunakan sekaligus, maka waktu yang digunakan untuk mencetak satu set buku adalah 4 jam. Berapa waktu yang dibutuhkan printer jenis kedua untuk mencetak satu set buku.
Jawab:
diketahui printer 1 lebih cepat 1 xjam dari printer 2
diketahui dalam membuat 1 set buku secara bersamaan printer tersebut dapat menyeleselasikan dalam wakrtu 4 jam
maka dapat digambarkan
printer 1 + printer 2 = hasil
1/2 jam + 1 1/2 jam= 2 jam
11/2jam + 2 1/2jam = 4jam
dapat disimpulkan bahwa dalam 1jam kemampuan printer 2, printer 1 dapat membantu menghasilkan hasil print 1 jam lebih cepat. Dan untuk membuat satu buku dibutuhkan 4 jam.
maka dapat didapatkan waktu yang dibutuhkan printer 2 untuk mencetak satu buku adalah
1 1/2 jam + 2 1/2 jam = 4jam
= 1 1/2jam(4) + 2 1/2jam(4)
= (90'X4) + (150'X4)
= 360' + 600'
= 6jam + 10 jam
= 16 jam
maka waktu yang diperlukan untuk mencetak satu buah buku oleh printer 2 adalah 16 jam
________________________________________
5. Harga beli sejumlah produk adalah Rp 18.000.000,-. Produk dijual dengan sisa 3 unit dengan hasil penjualan Rp 21.600.000,-. Jika harga setiap produk yang dibeli adalah Rp 600,-lebih murah dari haruga jualnya, temukan bentuk persamaan kuadrat dari permasalahan tersebut.
Jawab:
________________________________________
6. Sejumlah investor akan menanamkan modalnya dalam jumlah yang sama untuk membuka usaha di suatu daerah. Investasi yang akan ditanamkan sebesar Rp 19,5 miliar. Pada saat usaha akan dimulai, ada 4 investor lagi yang akan ikut bergabung. Jika keempat orang itu ikut bergabung, maka masing-masing akan membayar Rp 1,55 miliar kurangnya dari yang telah mereka bayar. Tentukan jumlah investor mula-mula yang berencana akan menanamkan modalnya.
Jawab:
Misalkan jumlah investor mula-mula dinyatakan dengan x,
maka 19,5 = 19,5/x * x , yang dapat dibaca “modal sebanyak 19,5 miliar sama dengan jumlah yang harus dibayar per orang dikali jumlah orang”.
Setelah 4 investor lagi ikut bergabung, jumlah yang harus dibayar (19,5/x) dikurangi sebanyak 1,55 miliar,
sehingga modelnya menjadi : 19,5 = (19,5/x – 1,55) * (x+4), Yang dapat dibaca “modal sebanyak 19,5 miliar sama dengan jumlah biaya awal dikurang 1,55 dikali jumlah investor awal ditambah 4”.
Menyelesaikannya untuk x, akan didapat 19,5 = 19,5 + 78 – 1,55 x – 6,2 71,8 = 1,55x X = 46,3225 Maka, jumlah investor awalnya adalah 46 orang.
________________________________________
7. Jika a² + a - 3 = 0, tentukan nilai terbesar yang mungkin a3 + 4a2 + 9988.
Jawab:
a² + a - 3 = 0
a² = 3 - a
a³ = 3a - a² = 3a - (3 - a) = 4a - 3
a³ + 4a² + 9988 = 4a - 3 + 4(3 - a) + 9988
= 4a - 3 + 12 - 4a + 9988
= - 3 + 12 + 9988
= 9997
________________________________________
8. Jika a³ + b³ = 637 dan a + b = 13, tentukan nilai (a–b)2.
Jawab:
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
jika,
a³ + b³ = 637, maka
(a+b)(a² - ab + b²) = 637
karena a + b = 13, jadi
13 (a² - ab + b²) = 637
a² - ab + b² = 637/13
a² - ab + b² = 49
perhatikan persamaan :
a + b = 13
kuadratkan kedua ruas, get
a² + 2ab + b² = 169
eliminasi,
a² - ab + b² = 49
a² + 2ab + b² = 169
-------------------------------- ( - )
-3ab = -120
ab = -120/-3
ab = 40
dan perhatikan bahwa :
(a - b)² = (a + b)² - 4ab, maka
(a - b)² = (13)² - 4(40)
(a - b)² = 169 - 160 = 9
________________________________________
9. Faktorkan: 4kn + 6ak + 6an + 9a2.
Jawab:
4kn + 6ak + 6an + 9a² = (4kn + 6ak) + (6an + 9a²)
= 2k (2n + 3a) + 3a (2n + 3a)
= (2k + 3a) (2n + 3a)
________________________________________
10. Jika a + b + c = 0 dengan a, b, c ≠ 0, tentukan nilai [a(1/b + 1/c) + b(1/c + 1/a) + c(1/a + 1/b)] ²
Jawab:
[a(1/b + 1/c) + b(1/c + 1/a) + c(1/a + 1/b)] ² =
(a/b + a/c + b/c + b/a + c/a + c/b )² =
[(b/a + c/a) + (a/b + c/b ) + (a/c + b/c )]² =
[ -a/a + -b/b + -c/c ]² = [ -1 -1 -1]² = (-3)² = 9
________________________________________
Halaman 13
Matematika (MTK)
Kelas X (10) SMA/SMK/MAK
Semester 2 K13
1. Apakah persamaan yang diberikan merupakan persamaan kuadrat? Berikan alasanmu!
a) x²y =0, y € R, y =0.
b) x + 1/x = 0, x = 0.
Jawab:
Penyelesaian:
Suatu persamaan yang ekuivalen dengan persamaan yang berbentuk
ax² + bx + c = 0
dengan a, b, dan c bilangan real dan a ≠ 0 dinamakan persamaan kuadrat satu variabel (peubah), persamaan berderajat dua atau di singkat persamaan kuadrat.
Dalam persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, x dinamakan variabel (peubah), a dinamakan koefisien x², b dinamakan koefisien x, dan c dinamakan konstanta.
Mari kita lihat soal tersebut.
a) x²y = 0, y ∈ R dan y ≠ 0 (di soal tersebut salah bila ditulis y = 0)
Persamaan tersebut bukan persamaan kuadrat, karena memiliki dua variabel (peubah) x dan y.
b) x + 1/x = 0, x ≠ 0 (di soal tersebut salah bila ditulis x = 0).
⇔x + 1/x = 0 (kita kalikan kedua ruas dengan x)
⇔x² + 1 = 0
Persamaan tersebut merupakan jenis persamaan kuadrat sejati (asli).
________________________________________
2. Robert berangkat ke sekolah mengendarai sepeda. Jarak sekolah dari rumahnya 12 km. Robert berangkat dengan kecepatan awal sepeda bergerak 7 km/jam. Karena Robert semakin lelah, kecepatan sepedanya mengalami perlambatan 2 km/jam. Berapa lama waktu yang digunakan Robert sampai di sekolah.
Jawab:
Cari vt terlebih dahulu:
vt² = vo² + 2as
vt² = 7² - 2 (2) (12)
vt² = 49 - 48
vt² = 1 km/jam
vt = 1 km/jam
vt = vo +at
1 = 7 -2t
2t = 6
t = 3 jam
________________________________________
3. Pada sebuah kerucut lingkaran tegak diketahui bahwa: penambahan volume karena jari-jarinya ber-tambah sepanjang 24 cm sama dengan penambahan volume ka-rena tingginya bertambah 24 cm. Jika tinggi semula kerucut 3 cm, berapakah jari-jari kerucut semula ?
Jawab:
t = 3 cm
Maka, dari definisi soal:
________________________________________
4. Dua buah jenis printer komputer akan digunakan untuk mencetak satu set buku. Jenis printer pertama, 1/x jam lebih cepat dari jenis printer kedua untuk menyelesaikan cetakan satu set buku. Jika kedua jenis printer digunakan sekaligus, maka waktu yang digunakan untuk mencetak satu set buku adalah 4 jam. Berapa waktu yang dibutuhkan printer jenis kedua untuk mencetak satu set buku.
Jawab:
diketahui printer 1 lebih cepat 1 xjam dari printer 2
diketahui dalam membuat 1 set buku secara bersamaan printer tersebut dapat menyeleselasikan dalam wakrtu 4 jam
maka dapat digambarkan
printer 1 + printer 2 = hasil
1/2 jam + 1 1/2 jam= 2 jam
11/2jam + 2 1/2jam = 4jam
dapat disimpulkan bahwa dalam 1jam kemampuan printer 2, printer 1 dapat membantu menghasilkan hasil print 1 jam lebih cepat. Dan untuk membuat satu buku dibutuhkan 4 jam.
maka dapat didapatkan waktu yang dibutuhkan printer 2 untuk mencetak satu buku adalah
1 1/2 jam + 2 1/2 jam = 4jam
= 1 1/2jam(4) + 2 1/2jam(4)
= (90'X4) + (150'X4)
= 360' + 600'
= 6jam + 10 jam
= 16 jam
maka waktu yang diperlukan untuk mencetak satu buah buku oleh printer 2 adalah 16 jam
________________________________________
5. Harga beli sejumlah produk adalah Rp 18.000.000,-. Produk dijual dengan sisa 3 unit dengan hasil penjualan Rp 21.600.000,-. Jika harga setiap produk yang dibeli adalah Rp 600,-lebih murah dari haruga jualnya, temukan bentuk persamaan kuadrat dari permasalahan tersebut.
Jawab:
________________________________________
6. Sejumlah investor akan menanamkan modalnya dalam jumlah yang sama untuk membuka usaha di suatu daerah. Investasi yang akan ditanamkan sebesar Rp 19,5 miliar. Pada saat usaha akan dimulai, ada 4 investor lagi yang akan ikut bergabung. Jika keempat orang itu ikut bergabung, maka masing-masing akan membayar Rp 1,55 miliar kurangnya dari yang telah mereka bayar. Tentukan jumlah investor mula-mula yang berencana akan menanamkan modalnya.
Jawab:
Misalkan jumlah investor mula-mula dinyatakan dengan x,
maka 19,5 = 19,5/x * x , yang dapat dibaca “modal sebanyak 19,5 miliar sama dengan jumlah yang harus dibayar per orang dikali jumlah orang”.
Setelah 4 investor lagi ikut bergabung, jumlah yang harus dibayar (19,5/x) dikurangi sebanyak 1,55 miliar,
sehingga modelnya menjadi : 19,5 = (19,5/x – 1,55) * (x+4), Yang dapat dibaca “modal sebanyak 19,5 miliar sama dengan jumlah biaya awal dikurang 1,55 dikali jumlah investor awal ditambah 4”.
Menyelesaikannya untuk x, akan didapat 19,5 = 19,5 + 78 – 1,55 x – 6,2 71,8 = 1,55x X = 46,3225 Maka, jumlah investor awalnya adalah 46 orang.
________________________________________
7. Jika a² + a - 3 = 0, tentukan nilai terbesar yang mungkin a3 + 4a2 + 9988.
Jawab:
a² + a - 3 = 0
a² = 3 - a
a³ = 3a - a² = 3a - (3 - a) = 4a - 3
a³ + 4a² + 9988 = 4a - 3 + 4(3 - a) + 9988
= 4a - 3 + 12 - 4a + 9988
= - 3 + 12 + 9988
= 9997
________________________________________
8. Jika a³ + b³ = 637 dan a + b = 13, tentukan nilai (a–b)2.
Jawab:
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
jika,
a³ + b³ = 637, maka
(a+b)(a² - ab + b²) = 637
karena a + b = 13, jadi
13 (a² - ab + b²) = 637
a² - ab + b² = 637/13
a² - ab + b² = 49
perhatikan persamaan :
a + b = 13
kuadratkan kedua ruas, get
a² + 2ab + b² = 169
eliminasi,
a² - ab + b² = 49
a² + 2ab + b² = 169
-------------------------------- ( - )
-3ab = -120
ab = -120/-3
ab = 40
dan perhatikan bahwa :
(a - b)² = (a + b)² - 4ab, maka
(a - b)² = (13)² - 4(40)
(a - b)² = 169 - 160 = 9
________________________________________
9. Faktorkan: 4kn + 6ak + 6an + 9a2.
Jawab:
4kn + 6ak + 6an + 9a² = (4kn + 6ak) + (6an + 9a²)
= 2k (2n + 3a) + 3a (2n + 3a)
= (2k + 3a) (2n + 3a)
________________________________________
10. Jika a + b + c = 0 dengan a, b, c ≠ 0, tentukan nilai [a(1/b + 1/c) + b(1/c + 1/a) + c(1/a + 1/b)] ²
Jawab:
[a(1/b + 1/c) + b(1/c + 1/a) + c(1/a + 1/b)] ² =
(a/b + a/c + b/c + b/a + c/a + c/b )² =
[(b/a + c/a) + (a/b + c/b ) + (a/c + b/c )]² =
[ -a/a + -b/b + -c/c ]² = [ -1 -1 -1]² = (-3)² = 9
________________________________________
