Uji Kompetensi 7.2 Bab 7 (Persamaan dan Fungsi Kuadrat)
Halaman 21
Matematika (MTK)
Kelas X (10) SMA/SMK/MAK
Semester 2 K13
1. Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat berikut.
a. x² - 12x + 20 = 0
b. 3x² + 10x + 36 = 0
c. 2x² + 7x = 5
Jawab:
Jika terjadi kesalahan pengetikan soal, harap beritahu
a. x² - 12x + 20 = 0
Akar : 2 dan 10
b. 3x² + 10x + 36 = 0
Dengan i adalah akar dari -1 (Imajiner) sehingga solusi bukan bilangan real,
c. 2x² + 7x = 5
Akarnya adalah kedua bilangan real berikut.
_______________________________________
2. Persamaan (m-1)x²+4x+2m+0 mempunyai akar-akar real. Tentukan nilai m yang memenuhi!
Jawab:
Akar-akar real dimiliki jika D ≥ 0
Dengan:
a = m-1
b = 4
c = 2m
Maka,
b² - 4ac ≥ 0
4² - 4(m-1)(2m) ≥ 0
4(4 - 2m(m-1)) ≥ 0
4 - 2m² + 2m ≥ 0
-2m² + 2m + 4 ≥ 0
-2(m²-m-2) ≥ 0
m²-m-2 ≤ 0
(m+1)(m-2) ≤ 0
Dengan garis bilangan, didapat:
-1 ≤ m ≤ 2
_______________________________________
3. Jika a dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, tunjukkan bahwa
a. α^4 + β^4 = (α² + β²)² - 2 α²β²
b. (α - β)² = (b² - 4ac) / a²
Jawab:
a.
α + β = -b/a
αβ = c/a
α^4 + β^4 = (α² + β²)² - 2 α²β²
= ((α + β)² - 2αβ)² - 2 (αβ)²
= ((-b/a)² - 2c/a)² - 2 (c/a)²
= (b²/a² - 2c/a)² - 2c²/a²
= (b²/a² - 2ac/a²)² - 2c²/a²
= ((b² - 2ac)/a²)² - 2c²/a²
= (b^4 - 4ab²c + 4a²c²)/a^4 - 2c²/a²
= (b^4 - 4ab²c + 4a²c²)/a^4 - 2a²c²/a^4
= (b^4 - 4ab²c + 4a²c² - 2a²c²) / a^4
= (b^4 - 4ab²c + 2a²c²) / a^4
b.
α - β = √D / a
α - β = √(b² - 4ac) / a
(α - β)² = (b² - 4ac) / a²
_______________________________________
4. Akar-akar persamaan kuadrat x² - 2x + 5 = 0 adalah p dan q. Temukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya (p+2) dan (q+2)!
Jawab:
Diketahui :
x² - 2x + 5 = 0
maka nilai : a = 1 ; b = -2 ; c = 5
(p+2) ⇒ α ; dan (q+2) ⇒ β
Ditanyakan : akar-akar persamaan kuadrat baru
Penyelesaian :
p + q = -b/a = -(-2)/1 = 2
pq = c/a = 5/1 = 5
Sehingga :
α + β = (p + 2) + (q + 2)
= p + q + 4
= 2 + 4
= 6
α·β = (p + 2) + (q + 2)
= pq + 2p + 2q + 4
= pq + 2(p + q) + 4
= 5 + 2(2) + 4
= 5 + 4 + 4
= 13
Jadi persamaan kuadrat baru :
Rumus : x² - (α+β)x + α·β = 0
⇒ x² - 6x + 13 = 0
_______________________________________
5. Dua jenis mesin penggiling padi digunakan untuk menggiling satu peti padi. Untuk menggiling satu peti padi, mesin jenis pertama lebih cepat 12 jam dari mesin jenis kedua. Sementara jika kedua mesin digunakan sekaligus, dapat menggiling satu peti padi selama 6 jam.
a. Berapa jam waktu yang digu-nakan mesin jenis pertama untuk menggiling satu peti padi.
b. Berapa jam waktu yang diguna-kan mesin jenis kedua untuk menggiling satu peti padi.
Jawab:
Mesin pertama= X
Mesin kedua= Y
a. Berapa jam waktu yang digu-nakan mesin jenis pertama untuk menggiling satu peti padi.
X = Y - 1/2
X + Y = 6
Y- 1/2 + Y = 6
Y + Y = 6 + 1/2
2Y =6 1/2
Y = 3 1/4
b. Berapa jam waktu yang diguna-kan mesin jenis kedua untuk menggiling satu peti padi.
Y + X = 6
3 1/4 + X = 6
X = 2 3/4
_______________________________________
6. Jika a² + a - 3 = 0, tentukan nilai terbesar yang mungkin a³ +4a² + 9988.
Jawab:
a² + a - 3 = 0
a² = 3 - a
a³ = 3a - a² = 3a - (3 - a) = 4a - 3
a³ + 4a² + 9988 = 4a - 3 + 4(3 - a) + 9988
= 4a - 3 + 12 - 4a + 9988
= - 3 + 12 + 9988
= 9997
_______________________________________
7. Pada sebidang tanah akan didirikan sebuah sekolah SD. Bentuk tanah dan ukuran tanah dapat dilihat pada gambar.
Jawab:
"Tidak Tersedia"
_______________________________________
8. JikaJika x/x2+3x+1=a, tentukan nilai x2/x4+3x2+1
Jawab:
x / (x² + 3x + 1) = a
(x² + 3x + 1) / x = 1/a
x + 3 + (1/x) = 1/a
x + (1/x) = (1/a) - 3 ........pers i
x² / (x^4 + 3x² + 1) = 1 /(x² + 3 + 1/x²)
= 1/ {(x² + 1/x²) + 3}
= 1/ {(x + 1/x)² - 2 + 3}
= 1 / [(1/a) - 3}² + 1]
= 1/[(1/a)² - 6/a + 9 + 1]
= 1/ [(1/a)² - 6/a + 10]
= 1 / [(1 - 6a + 10a²)/a²]
= a² / ((1 - 6a + 10a²)
_______________________________________
9. Jika √(2009x^2 )-11x+144 + √(2009x^2 )-11x+96=16 tentukan nilai yang mungkin untuk √(2009x^2 )-11x+144 - √(2009x^2 )-11x+96
Jawab:
Misal:
a = (2009x² - 11x + 144)
b = (2009x² - 11x + 96)
a - b = (√a + √b)(√a - √b)
144 - 96 = (16)(√a - √b)
48/16 = √a - √b
3 = √(2009x² - 11x + 144) - √(2009x² - 11x + 96)
_______________________________________
10. Faktorkan : 3x²- 4xy + y² + 2x - 6y - 16
Jawab:
3x²- 4xy + y² + 2x - 6y - 16 ; kumpulkan variabel x
= 3x² - (4y-2)x + (y²-6y-16)
= (3x-(y-8))(x-(y+2))
= (3x-y+8)(x-y-2)
_______________________________________
