Bab 8 Aturan Pencacahan
Uji Kompetensi 8.2
Halaman 71
Matematika (MTK)
Kelas XI (11)
Semester K13
1. Di dalam sebuah kotak terdapat 10 bola yang sama tetapi berbeda warna. 5 bola berwarna merah, 3 bola berwarna putih, dan 2 bola berwarna kuning. Seorang anak mengambil 3 bola secara acak dari kotak. Tentukanlah:
a) Banyak cara pengambilan ketiga bola tersebut.
b) Banyak cara pengambilan ketiga bola dengan dua bola berwarna sama.
c) Banyak cara pengambilan ketiga bola tersebut dengan banyak bola berwarna merah selalu lebih banyak daripada banyak bola berwarna lainnya.
d) Banyak cara pengambilan ketiga bola jika bola berwarna kuning paling sedikit terambil 2.
Jawab:
a. Banyak cara pengambilan 3 bola= 10 C3 = 10! / (10 - 3)!3!
= 10! / (7! 3!) = 120 cara
b. Banyak cara pengambilan 2 warna sama = 5C2 . 5C1 + 3C2 . 7C1 + 2C2 . 8C1
= 10 x 5 + 3 x 7 + 1 x 8 = 50 + 21 + 8 = 79 cara
c. banyak merah selalu lebih banyak = 5C2 . 5C1 + 5C3 5C0
= 10 x 5 + 10 x 1 = 50 + 10 = 60 cara
d. bola kuning paling sedikit 2 = 2C2 8C1 = 1 x 8 = 8 cara
--------------------------------------------------------------------------------------
2. Dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 akan dibuat bilangan dengan angka yang berbeda. Tentukanlah:
a) Banyak bilangan yang dapat dibentuk.
b) Banyak bilangan ribuan yang lebih besar atau sama dengan 4000.
c) Banyak bilangan ratusan dengan angka ratusan adalah bilangan prima.
d) Jika x adalah bilangan ratusan yang dapat dibentuk dari angka di atas, maka tentukan banyaknya bilangan ratusan yang memenuhi 250 < x < 750.
e) Banyak bilangan ratusan dengan angka di posisi puluhan selalu lebih dari angka di posisi satuan.
Jawab:
3. Tentukan banyak kata berbeda yang dapat dibentuk dari huruf pembentuk kata:
a) ATURAN
b) INDONESIA
c) KURIKULUM
d) STATISTIKA
Jawab:
Jawab:
a) Banyak susunan jika disusun berjajar.
b) Banyak susunan jika disusun berjajar dengan buku yang sejenis bidang ilmu berdekatan.
c) Banyak susunan jika disusun berjajar dengan buku IPA selalu berada di pinggir.
d) Banyak susunan jika disusun secara siklis.
e) Banyak susunan jika disusun secara siklis dengan buku yang sejenis bidang ilmu berdekatan.
Jawab:
Jawab:
a) Tentukan banyak cara mereka memilih masuk ke stadion dengan masuk melalui pintu yang sama tetapi keluar dengan pintu yang berbeda.
b) Tentukan banyak cara mereka memilih masuk ke stadion dengan masuk melalui pintu yang sama tetapi mereka keluar dengan pintu yang berbeda dan tidak melalui pintu di saat mereka masuk.
Jawab:
a) Peluang pengambilan ketiga bola tersebut
b) Peluang terambil 2 bola berwarna merah
c) Peluang terambil ketiga bola berbeda warna
d) Peluang terambil banyak bola berwarna merah selalu lebih banyak dari bola lainnya.
e) Peluang terambil banyak bola berwana merah selalu lebih banyak dari banyak bola berwarna biru dan banyak bola berwarna berwarna biru lebih banyak dari bola berwarna hijau.
Jawab:
Jawab:
a) Peluang yang terambil adalah bilangan 123.
b) Peluang yang terambil adalah bilangan ganjil
c) Peluang yang terambil adalah bilangan dengan angka di posisi satuan adalah bilangan prima.
d) Peluang yang terambil adalah bilangan diantara 123 dan 321
Jawab:
banyak kejadian semua = 4 x 5 x 5 = 100 bilangan
a. bilangan 123 = 1/100
b. bilangan ganjil sebanyak = 4 x 5 x 3 = 60 bilangan
peluang = 60/100 = 3/5
c. banyak angka yang angka satuan prima : 3 x 5 x 5 = 75
peluang = 75/100 = 3/4
d. bilangan antara 123 dan 321 (123 dan 321 tidak ikut) :
bilangan antara 123 dan 199 = 1 x 5 x 5 = 25
bilangan antara 200 dan 299 = 1 x 5 x 5 = 25
bilangan antara 300 dan 319 = 1 x 2 x 5 = 10 dan 321
maka ada 61 bialngan
peluang = 61/100
--------------------------------------------------------------------------------------
11. Dua puluh lima titik disusun membentuk pola bilangan persegi (5 5), seperti gambar
Jika dibentuk segitiga dengan menghubungkan tiga titik maka tentukan banyak segitiga yang dapat dibentuk.
Jawab:
12. Didalam kelas terdapat 10 siswa (6 pria dan 4 wanita) sebagai calon pengurus OSIS, yaitu ketua, sekretaris dan bendahara. Tentukan peluang terpilih kepengurusan dengan:
a) Kepengurusan tidak mempunyai persyaratan atau mereka semua berhak menduduki salah satu posisi.
b) Ketua dan sekretaris harus pria
c) Ketua, sekretaris harus pria dan bendahara harus seorang wanita
d) Ketua harus seorang pria.
Jawab:
a. n!/(n-k)!
=10!/(10-3)!
=10!/7!
=10x9x8
=720
b. 6!/(6-2)!
=6!/4!
=6x5
=30
c.ketua dan sekertaris harus pria =30
bendahara harus wanita = 4!/(4-1)!
=4
maka 30x4=120
d. 6!/(6-1)!=6!/5!
=6
--------------------------------------------------------------------------------------
13. Tunjukkan bahwa Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + ... + Cnn = 2n dengan n bilangan bulat
positif.
Jawab:
n = 1
1C0 + 1C1 = 1 + 1 = 2
n = 2
2C0 + 2C1 + 2C2 = 1 + 2 + 1 = 4
n = 3
3C0 + 3C1 + 3C2 + 3C3 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8
n = 4
4C0 + 4C1 + 4C2 + 4C3 + 4C4 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16
Jadi nC0 + nC1 +nC2 + nC3 + .. . + nCn = Un
2,4,8,16, ....
a = 2
r = 2
Un = a. r^(n-1)
Un = 2 . 2^(n-1) = 2^n
nC0 + nC1 +nC2 + nC3 + .. . + nCn = Un = 2 . 2^n-1 = 2^n (terbukti)
--------------------------------------------------------------------------------------
14. Jika nPk adalah permutasi k unsur dari n unsur dan nCk adalah kombinasi k unsur dari n unsur maka n+5 C n+3 = 22 maka tentukan nilai n-3 P n-5
Jawab:
(n+5)(n+4) = 44
n²+9n+20 = 44
n²+9n =24
n²+9n+3² = 24+3²
(n+3)² = 33
n+3 = √33 dan n+3 = -√33
n = -3+√33 dan n = -3-√33
15. Jika Pkn adalah permutasi k unsur dari n unsur dan Ckn adalah kombinasi k unsur dari n unsur maka tentukan harga n yang memenuhi Pnn−2 − Pnn−3 − Pnn−+31 = Cnn−2
Uji Kompetensi 8.2
Halaman 71
Matematika (MTK)
Kelas XI (11)
Semester K13
1. Di dalam sebuah kotak terdapat 10 bola yang sama tetapi berbeda warna. 5 bola berwarna merah, 3 bola berwarna putih, dan 2 bola berwarna kuning. Seorang anak mengambil 3 bola secara acak dari kotak. Tentukanlah:
a) Banyak cara pengambilan ketiga bola tersebut.
b) Banyak cara pengambilan ketiga bola dengan dua bola berwarna sama.
c) Banyak cara pengambilan ketiga bola tersebut dengan banyak bola berwarna merah selalu lebih banyak daripada banyak bola berwarna lainnya.
d) Banyak cara pengambilan ketiga bola jika bola berwarna kuning paling sedikit terambil 2.
Jawab:
a. Banyak cara pengambilan 3 bola= 10 C3 = 10! / (10 - 3)!3!
= 10! / (7! 3!) = 120 cara
b. Banyak cara pengambilan 2 warna sama = 5C2 . 5C1 + 3C2 . 7C1 + 2C2 . 8C1
= 10 x 5 + 3 x 7 + 1 x 8 = 50 + 21 + 8 = 79 cara
c. banyak merah selalu lebih banyak = 5C2 . 5C1 + 5C3 5C0
= 10 x 5 + 10 x 1 = 50 + 10 = 60 cara
d. bola kuning paling sedikit 2 = 2C2 8C1 = 1 x 8 = 8 cara
--------------------------------------------------------------------------------------
2. Dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 akan dibuat bilangan dengan angka yang berbeda. Tentukanlah:
a) Banyak bilangan yang dapat dibentuk.
b) Banyak bilangan ribuan yang lebih besar atau sama dengan 4000.
c) Banyak bilangan ratusan dengan angka ratusan adalah bilangan prima.
d) Jika x adalah bilangan ratusan yang dapat dibentuk dari angka di atas, maka tentukan banyaknya bilangan ratusan yang memenuhi 250 < x < 750.
e) Banyak bilangan ratusan dengan angka di posisi puluhan selalu lebih dari angka di posisi satuan.
Jawab:
a)
1 digit = 7 = 7
2 digit = 7 x 6 = 42
3 digit = 7 x 6 x 5 = 210
4 digit = 7 x 6 x 5 x 4 = 840
5 digit = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 = 2520
6 digit = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 5040
7 digit = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
Jumlahkan seluruhnya, ada 13699 cara
b)
Untuk ≥ 4000
Tinjau 4 digit.
Ribuan (4,5,6,7)
Ratusan (1,2,3,4,5,6,7) - 1
Puluhan (1,2,3,4,5,6,7) - 2
Satuan (1,2,3,4,5,6,7) - 3
Kalikan, 4 x 6 x 5 x 4 = 480 cara.
Jumlahkan dengan 2520+5040+5040 didapat:
13080 cara
c) Ratusan (Prima)
Komposisikan bahwa bilangan yang terjadi satuannya 1,3,5,7
Dengan komputasi ada 143 bilangan.
d) Untuk 250 < x < 300
Ratusan (2)
Puluhan (5,6,7) - 1
Satuan (1,2,3,4,5,6,7) - 2
Banyaknya = 1 x 2 x 5 = 10
Untuk 300 < x < 700
Ratusan (3,4,5,6)
Puluhan (1,2,3,4,5,6,7) - 1
Satuan (1,2,3,4,5,6,7) - 2
Banyaknya = 4 x 6 x 5 = 120
Untuk 700 < x < 750
Ratusan (7)
Puluhan (1,2,3,4) - 1
Satuan (1,2,3,4,5,6,7) - 2
Banyaknya = 1 x 3 x 5 = 15
Jumlahkan seluruhnya, ada 145 cara.
e)BELUM TERSEDIA
--------------------------------------------------------------------------------------
a) ATURAN
b) INDONESIA
c) KURIKULUM
d) STATISTIKA
Jawab:
a) ATURAN =
total = 6 elemen
koreksi = ada 2 elemen yg sama, pada huruf A
b) INDONESIA
total = 9 elemen
koreksi = ada 2 elemen yg sama pd hrf I
ada 2 elemen yg sama pd huruf N
c) KURIKULUM
total = 10 elemen
koreksi = 2 elemen sama di huruf K
3 elemen yg sama di hurf U
d) STATISKA
total = 8 elemen
koreksi = 2 elemen sama pd huruf T
2 elemen sama di huruf A
2 elemen sama pd huruf S
--------------------------------------------------------------------------------------
4. Berapa banyak kata yang dapat dibentuk dari huruf pembentuk kata PERMUTASI dengan selalu mengandung unsur kata TAMU.
4 huruf selalu berjejer dari 9 huruf,Ada (9-4) + 1 = 6Banyaknya susunan acak huruf selain tamu ada (9-4)! = 5!Sehingga, banyaknya:6 x 5! = 6 x 120 = 720 cara
--------------------------------------------------------------------------------------
5. Sepuluh buku yaitu: 6 buku IPA, 2 buku IPS, dan 2 buku Bahasa akan disusun di atas meja. Tentukanlah:a) Banyak susunan jika disusun berjajar.
b) Banyak susunan jika disusun berjajar dengan buku yang sejenis bidang ilmu berdekatan.
c) Banyak susunan jika disusun berjajar dengan buku IPA selalu berada di pinggir.
d) Banyak susunan jika disusun secara siklis.
e) Banyak susunan jika disusun secara siklis dengan buku yang sejenis bidang ilmu berdekatan.
Jawab:
a) 10! = 3628800
b) 3! x 6! x 2! x 2! = 6 x 720 x 4 = 17280 cara
c) (Pinggir kiri dan pinggir kanan) 2! x 6! x 4! = 2 x 720 x 24 = 34560 cara
d) (10-1)! = 9! = 362880
e) (3-1)! x 6! x 2! x 2! = 2 x 720 x 4 = 5760 cara
--------------------------------------------------------------------------------------
6. Bayu pergi menonton pertandingan sepak bola ke stadion. Jika stadion memiliki 5 pintu masuk/keluar maka tentukan banyak cara Bayu memilih masuk ke stadion dengan dan keluar melalui pintu yang berbeda.
Kombinasi 5 dari 2.5!/3!2! = 120/(6.2) = 10 cara.
--------------------------------------------------------------------------------------
7. Dua orang pergi menonton pertandingan sepak bola ke stadion. Jika stadion memiliki 6 pintu masuk/keluar maka:a) Tentukan banyak cara mereka memilih masuk ke stadion dengan masuk melalui pintu yang sama tetapi keluar dengan pintu yang berbeda.
b) Tentukan banyak cara mereka memilih masuk ke stadion dengan masuk melalui pintu yang sama tetapi mereka keluar dengan pintu yang berbeda dan tidak melalui pintu di saat mereka masuk.
Jawab:
a. masuk
A punya 6 kemungkinan pintu masuk (1,2,3,4,5,6)
B punya 1 kemungkinan, yaitu sama dengan A
kemungkinan masuk =6x1 = 6
keluar
A punya 6 kemungkinan pintu keluar(1,2,3,4,5,6)
B punya 5 kemungkinan pintu keluar( yang tidak dipilih A)
kemungkinan keluar = 6x 5 =30
total cara= 30x 6 = 180
b. banyak cara masuk sama seperti bagian A, yaitu 6 cara
keluar
A punya 5 kemungkinan( semua kecuali pintu masuk)
B punya 4 kemungkinan( semua kecuali pintu masuk dan pintu keluar A)
kemungkinan keluar=5x4 = 20
total cara = 6x 20 =120
--------------------------------------------------------------------------------------
8. Didalam sebuah kotak terdapat 12 bola yang sama dan berbeda warna, yaitu 6 bola berwarna Merah, 4 bola berwarna Biru, dan 2 berwarna hijau. Jika, seorang anak mengambil 3 bola secara acak maka tentukan:
b) Peluang terambil 2 bola berwarna merah
c) Peluang terambil ketiga bola berbeda warna
d) Peluang terambil banyak bola berwarna merah selalu lebih banyak dari bola lainnya.
e) Peluang terambil banyak bola berwana merah selalu lebih banyak dari banyak bola berwarna biru dan banyak bola berwarna berwarna biru lebih banyak dari bola berwarna hijau.
Jawab:
a. n(S) = banyaknya pengambilan 3 bola dari 12 bola tanpa memperhatikan warna
= ₁₂C₃
= 12!/{3!.(12 - 3)!
= 12!/(3!.9!)
= (12.11.10.9!)/(3.2.1.9!)
= 12.11.10/(3.2.1)
= 4.11.5
= 220.
n(A) = banyaknya pengambilan 3 bola dari 12 bola tanpa memperhatikan warna
= ₁₂C₃
= 12!/{3!.(12 - 3)!
= 12!/(3!.9!)
= (12.11.10.9!)/(3.2.1.9!)
= 12.11.10/(3.2.1)
= 4.11.5
= 220.
Jadi, peluang pengambilan 3 bola dari 12 bola tanpa memperhatikan warna = P(A) = n(A)/n(S) = 220/220 = 1.
b. n(B) = banyaknya pengambilan 3 bola dengan 2 bola merah
= ₆C₂ x ₄C₁ x ₂C₀ + ₆C₂ x ₄C₀ x ₂C₁
= 6!/{2!.(6 - 2)!} x 4!/{1!.(4 - 1)!} x 2!/{0!.(2 - 0)!} + 6!/{2!.(6 - 2)!} x 4!/{0!.(4 - 0)!} x 2!/{1!.(2 - 1)!}
= 6!/(2.4!) x 4!/(1.3!) x 2!/(1.2!) + 6!/(2.4!) x 4!/(1.4!) x 2!/(1.1!)
= 15 x 4 x 1 + 15 x 1 x 2
= 60 + 30
= 90
Jadi, peluang pengambilan 3 bola dengan 2 bola merah = P(B) = n(B)/n(S) = 90/220 = 9/22.
c. n(C) = banyaknya pengambilan 3 bola berbeda warna
= ₆C₁ x ₄C₁ x ₂C₁
= 6!/{1!.(6 - 1)! x 4!/{1!.(4 - 1)!} x 2!/1!.(2 - 1)!
= 6!/(1.5!) x 4!/(1.3!) x 2!/(1.1!)
= 6 x 4 x 2
= 48
Jadi, peluang pengambilan 3 bola berbeda warna = n(C)/n(S) = 48/220 = 12/55.
d. n(D) = banyaknya pengambilan bola warna merah selalu lebih banyak dari bola lainnya
= ₆C₂ x ₄C₁ x ₂C₀ + ₆C₂ x ₄C₀ x ₂C₁ + ₆C₃ x ₄C₀ x ₂C₀
= 6!/{2!.(6 - 2)!} x 4!/{1!.(4 - 1)!} x 2!/{0!.(2 - 0)!} + 6!/{2!.(6 - 2)!} x 4!/{0!.(4 - 0)!} x 2!/{1!.(2 - 1)!} + 6!/{3!.(6 - 3)! x 4!/{0!.(4 - 0)!} x 2!/{0!.(2 - 0)!
= 6!/(2.4!) x 4!/(1.3!) x 2!/(1.2!) + 6!/(2.4!) x 4!/(1.4!) x 2!/(1.1!) + 6.5.4.3!/(3.2.1.3!) x 4!/(1.3!) x 2!/(1.2!)
= 15 x 4 x 1 + 15 x 1 x 2 + 20 x 4 x 1
= 60 + 30 + 80
= 170
Jadi, peluang pengambilan bola warna merah selalu lebih banyak dari bola lainnya = P(D) = n(D)/n(S) = 170/220 = 17/22.
e. n(E) = banyaknya pengambilan bola berwarna merah selalu lebih banyak dari banyak bola berwarna biru dan bola berwarna biru lebih banyak dari bola berwarna hijau
= ₆C₂ x ₄C₁ x ₂C₀
= 6!/{2!.(6 - 2)!} x 4!/{1!.(4 - 1)!} x 2!/{0!.(2 - 0)!}
= 6!/(2.4!) x 4!/(1.3!) x 2!/(1.2!)
= 15 x 4 x 1
= 60
Jadi, peluang pengambilan bola berwarna merah selalu lebih banyak dari banyak bola berwarna biru dan bola berwarna biru lebih banyak dari bola berwarna hijau = P(E) = n(E)/n(S) = 60/220 = 3/11.
--------------------------------------------------------------------------------------
9. Di dalam kandang terdapat 40 ekor ayam, yaitu 18 ekor ayam jantan, 6 diantaranya berbulu tidak hitam dan 21 ekor ayam berwarna hitam. Ibu memilih 2 ekor ayam untuk dipotong, maka tentukanlah peluang bahwa ayam yang terpilih untuk dipotong adalah ayam betina berbulu tidak hitam.
40 ekor ayam = 21 ekor hitam + 6 tidak hitam jantan + X tidak hitam betina
x tidak hitam betina = 40 - (21 + 6)
= 13 ekor
n (s) = 40C2
= 40! / (40!-2!) 2!
=38!39x40 / 38! 1x2
=780
n(A) = 13C2
= 13! / (13-2)! 2!
=11! 12x13 / 11! 1x2
= 78
P(A) = n(A)/ n(s)
= 78/780
= 1/10
--------------------------------------------------------------------------------------
10. Siti menyusun bilangan ratusan dari angka 0, 1, 2, 3, dan 5. Siti menuliskan setiap bilangan di kertas dan menggulungnya dan mengumpulkannya di dalam sebuak kotak. Siti meminta Udin mengambil sebuah gulungan secara acak. Tentukanlah:
b) Peluang yang terambil adalah bilangan ganjil
c) Peluang yang terambil adalah bilangan dengan angka di posisi satuan adalah bilangan prima.
d) Peluang yang terambil adalah bilangan diantara 123 dan 321
Jawab:
banyak kejadian semua = 4 x 5 x 5 = 100 bilangan
a. bilangan 123 = 1/100
b. bilangan ganjil sebanyak = 4 x 5 x 3 = 60 bilangan
peluang = 60/100 = 3/5
c. banyak angka yang angka satuan prima : 3 x 5 x 5 = 75
peluang = 75/100 = 3/4
d. bilangan antara 123 dan 321 (123 dan 321 tidak ikut) :
bilangan antara 123 dan 199 = 1 x 5 x 5 = 25
bilangan antara 200 dan 299 = 1 x 5 x 5 = 25
bilangan antara 300 dan 319 = 1 x 2 x 5 = 10 dan 321
maka ada 61 bialngan
peluang = 61/100
--------------------------------------------------------------------------------------
Jawab:
--------------------------------------------------------------------------------------
a) Kepengurusan tidak mempunyai persyaratan atau mereka semua berhak menduduki salah satu posisi.
b) Ketua dan sekretaris harus pria
c) Ketua, sekretaris harus pria dan bendahara harus seorang wanita
d) Ketua harus seorang pria.
Jawab:
a. n!/(n-k)!
=10!/(10-3)!
=10!/7!
=10x9x8
=720
b. 6!/(6-2)!
=6!/4!
=6x5
=30
c.ketua dan sekertaris harus pria =30
bendahara harus wanita = 4!/(4-1)!
=4
maka 30x4=120
d. 6!/(6-1)!=6!/5!
=6
--------------------------------------------------------------------------------------
positif.
Jawab:
n = 1
1C0 + 1C1 = 1 + 1 = 2
n = 2
2C0 + 2C1 + 2C2 = 1 + 2 + 1 = 4
n = 3
3C0 + 3C1 + 3C2 + 3C3 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8
n = 4
4C0 + 4C1 + 4C2 + 4C3 + 4C4 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16
Jadi nC0 + nC1 +nC2 + nC3 + .. . + nCn = Un
2,4,8,16, ....
a = 2
r = 2
Un = a. r^(n-1)
Un = 2 . 2^(n-1) = 2^n
nC0 + nC1 +nC2 + nC3 + .. . + nCn = Un = 2 . 2^n-1 = 2^n (terbukti)
--------------------------------------------------------------------------------------
14. Jika nPk adalah permutasi k unsur dari n unsur dan nCk adalah kombinasi k unsur dari n unsur maka n+5 C n+3 = 22 maka tentukan nilai n-3 P n-5
Jawab:
(n+5)(n+4) = 44
n²+9n+20 = 44
n²+9n =24
n²+9n+3² = 24+3²
(n+3)² = 33
n+3 = √33 dan n+3 = -√33
n = -3+√33 dan n = -3-√33
--------------------------------------------------------------------------------------
15. Jika Pkn adalah permutasi k unsur dari n unsur dan Ckn adalah kombinasi k unsur dari n unsur maka tentukan harga n yang memenuhi Pnn−2 − Pnn−3 − Pnn−+31 = Cnn−2
Jawab:
Belum Tersedia
Belum Tersedia
--------------------------------------------------------------------------------------
