Jawaban Ayo Kita Berlatih 6.3 Bab 6 MTK Halaman 31 Kelas 8 (Teorema Pythagoras)

Ayo Kita Berlatih 6.3
Halaman 31-32
Bab 6 (Teorema Pythagoras)
Matematika (MTK)
Kelas 8 SMP/MTS
Semester 2 K13

1. Manakah di antara kelompok tiga bilangan berikut yang membentuk segitiga siku-siku, segitiga lancip, dan segitiga tumpul?
a. 13, 9, 11
b. 8, 17, 15
c. 130, 120, 50
d. 12, 16, 5
e. 10, 20, 24
f. 18, 22, 12
g. 1,73; 2,23; 1,41
h. 12, 36, 35

Penyelesaian:

Untuk menentukan jenis segtiga kita kuadrat sisi terpanjang di ruas kiri dan ruas kanan merupakan jumlah kuadrat dua sisi yg lain

A.  13, 9, 11 
13² < 9² + 11²
169 < 81 + 121
169 < 202

Jadi jenis segitiganya adalah segitiga lancip, karena a² < b² + c² .

B.   8, 17, 15
17² = 8² + 15²
289 = 64 + 225
289 = 289

Jadi jenis segitiganya adalah segitiga siku-siku, karena a² = b² + c²

C.  130, 120, 50 
130² = 120² + 50²
16900 = 14400 + 2500
16900 = 16900

Jadi jenis segitiganya adalah segitiga siku-siku, karena a² = b² + c²

D.  12,16,5 
16² > 12² + 5
256 > 144 + 25
256 > 169

Jadi jenis segitiganya adalah segitiga tumpul, karena a² > b² + c²

E.  10, 20, 24 
24² > 20² + 10²
576 > 400 + 100
576 > 500

Jadi jenis segitiganya adalah segitiga tumpul, karena a² > b² + c²

F.   18, 22, 12 
22² > 18² + 12²
484 > 324 + 144
484 > 468

Jadi jenis segitiganya adalah segitiga tumpul, karena a² > b² + c²

G.  1,73; 2,23; 1,41
2,23² < 1,73² + 1,41²
4,9729 < 2,9929 + 1,9881
4,9729 < 4,981

Jadi jenis segitiganya adalah segitiga lancip, karena a² < b² + c²

h.  12, 36, 35
36² < 12² + 35²
1296 < 144 + 1225
1296 < 1369

Jadi jenis segitiganya adalah segitiga lancip, karena a² < b² + c²

_________________________

2. Manakah di antara kelompok tiga bilangan berikut yang merupakan tripel
Pythagoras?
a. 10, 12, 14
b. 7, 13, 11
c. 6, 2(1/2),  6(1/2)

Penyelesaian:

a. 10²+12²...14²
100+144...196
244 >196
Bukan tripel phytagoras

b. 7²+11²...13²
49+121...169
170>169
Bukan tripel phytagoras


memenuhi tripel phytagoras

Jadi, kelompok 3 bilangan yang memenuhi tripel phytagoras adalah bagian C
_________________________

3. Tentukan apakah ∆KLM dengan titik K(6, −6), L(39, −12), dan M(24, 18) adalah segitiga sebarang, segitiga sama kaki, atau segitiga sama sisi. Jelaskan jawaban kalian.

Penyelesaian:
Diketahui segitiga KLM dengan titik sudut
Titik K (6,-6)
Titik L (39,-12)
Titik M (24,18)


Ditanya: bentuk segitiga apa ?

Jawab:

Kita cari panjang sisi-sisinya terlebih dahulu, dengan menggunakan rumus pythagoras

c = √(a² + b²)

Dengan C sisi terpanjang (sisi miring)

Kita cari panjang KL
KL = √{(y2 - y1)² + (x2-x1)²}
     = √{(-12-(-6))² + (39 - 6)²}
     = √{(-6)² + 33²}
     = √(36 + 1089)
     = √1125
     = 33,5 satuan

Panjang KM
KM =  √{(y2 - y1)² + (x2-x1)²}
      = √{(18-(-6)² + (24-6)²}
      = √(24² + 18²)
      = √(576 + 324)
      = √900
      = 30 satuan

Panjang LM
LM = √{(y2 - y1)² + (x2-x1)²}
      = √{(18-(-12)² + (24-39)²}
      = √{30² + (-15)²}
      = √(900 + 225)
      = √1125
      = 33,5 satuan

dilihat dari panjang sisi-sisinya dapat kita simpulkan bahwa segitiga KLM adalah segitiga sama kaki
_________________________

4. Jika 32, x, 68 adalah tripel Pythagoras. Berapakah nilai x Tunjukkan bagaimana kalian mendapatkannya.

Penyelesaian:

Diketahui panjang sisi-sisi suatu segitiga, yaitu 
a = 32, b = x, dan c = 68.

Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh
a² + b² = c²
⇔ 32² + x² = 68²
⇔ x² = 68² - 32²
⇔ x² = 4.624 - 1.024
⇔ x² = 3.600
⇔ x = √3.600
⇔ x = √60²
⇔ x = 60

Jadi, jika 32, x, 68 adalah Tripel Pythagoras, maka x adalah 60.
_________________________

5. Bilangan terkecil dari tripel Pythagoras adalah 33. Tentukan tripel Pythagoras. Jelaskan bagaimana kalian menemukan dua bilangan lainnya.

Penyelesaian:

Bilangan terkecil dari tripel pythagoras adalah 33. Kita cari faktor dari 33 yaitu 3 × 11. Bilangan 3 terdapat pada tripel pythagoras 3, 4, dan 5. Dan bilangan 11 merupakan kelipatannya.

Untuk menemukan dua bilangan lainnya kita bisa mengalikan 4 dan 5 dengan 11.

4 × 11 = 44

5 × 11 = 55

Jadi yang merupakan tripel pythagoras adalah 33, 44, dan 55

Pada lampiran bisa dilihat beberapa Tripel Pythagoras


_________________________

6. Bingkai jendela yang terlihat berbentuk persegi panjang dengan tinggi 408 cm, panjang 306 cm, dan panjang salah satu diagonalnya 525 cm. Apakah bingkai jendela tersebut benar-benar persegi panjang? Jelaskan.

Penyelesaian:

_________________________

7. Panjang sisi-sisi segitiga adalah 1 cm, 2a cm, dan 3a cm. Buktikan bahwa ketiga ukuran tersebut bukan merupakan tripel Pythagoras.
a. Jika (p – q), p, (p + q) membentuk tripel Pythagoras, tentukan hubungan antara p dan q.
b. Jika p = 8, tentukan tripel Pythagoras.

Penyelesaian:

a. Jika (p-q),p,(p+q) membentuk triple phytagoras, tentukan hubungan antara p dan q

(p-q)²+p²=(p+q)²
p²-2pq+q²+p²=p²+2pq+q²
p²-2pq+q²+p²-p²-2pq-q²=0
p²-4pq=0
p(p-4q)=0
p=0 atau p-4q=0
p=0 atau p=4q
p=0 tidak memenuhi, maka p=4q

b. Jika p=8, tentukan triple Pythagoras

p=8

p=4q
8=4q
q=8/4=2

(p-q)=8-2=6
p=8
(p+q)=8+2=10
Triple Phytagoras : 6,8,10
_________________________

8. Perhatikan ∆ABC berikut ini. BD = 4 cm, AD = 8 cm, dan CD = 16 cm.
a. Tentukan panjang AC.
b. Tentukan panjang AB.
c. Apakah ∆ABC adalah segitiga siku-siku? Jelaskan.

Penyelesaian:

Diketahui : 
BD = 4 cm
AD = 8 cm
CD = 16 cm

Ditanya : 
a.  panjang AC 
b.  panjang AB
c.  apakah segitiga ABC adalah segitiga siku-siku? jelaskan!

Jawab : 
a.   Kita lihat Δ ADC
AC² = CD² + AD²
AC² = 16² + 8²
AC² = 256 + 64
AC² = 320
 AC = √320
 AC = 
 AC = 8√5 cm
Jadi panjang AC adalah 8√5 cm

b.  Lihat Δ ADB
AB² = BD² + AD²
AB² = 4² + 8²
AB² = 16 + 64
AB² = 80
 AB = √80
 AB = 
 AB = 4√5 cm
Jadi panjang AB adalah 4√5 cm

c.  Pembuktian apakah Δ ABC merupakan segitiga siku-siku dengan mengguanakan pythagoras.
BC² = AC² + AB²
(16 + 4)² = (8√5)² + (4√5)²
20² = (64 × 5) + (16 × 5)
400 = 320 + 80
400 = 400
Karena hasilnya sama dengan, maka Δ ABC adalah siku-siku.
_________________________

9. Diketahui persegi panjang ABCD. Terdapat titik P sedemikian sehingga PC = 8 cm, PA = 6 cm, dan PB = 10 cm. Dapatkah kalian menentukan jarak titik P ke D? Bagaimana kalian menemukannya?

Penyelesaian:

Kemungkinan I :

Diketahui : 
PC = 8 cm
PA = 6 cm
PB = 10 cm 

Pada gambar persegi panjang ABCD, kita lihat
∠ APB, ∠ BPC, ∠ CPD dan ∠ APD tidak ada yang siku-siku.
Jadi Δ CPD dan Δ APB tidak bisa kita pythagoraskan langsung.

Kita tarik garis merah yang tegak lurus melalui titik P agar terbentuk segitiga siku-siku, karena syarat pythagoras adalah salah satu sudut pada segitiga haruslah siku-siku dan kedua sisi tegak lurus.

Ada 4 garis diagonal yang terdiri dari 4 segitiga siku-siku 

Keempat diagonal tersebut kita masukan kedalam rumus pythagoras yaitu c² = a² + b², maka PD² = b² + c²

PA² = a² + b²
6² = a² + b²
b² = 6² - a²

PB² = a² + d²
10² = a² + d²
d² = 10² - a²

PC² = c² + d²
8² = c² + d²
c² = 8² - d²

PD² = b² + c²
PD² = (6² - a²) + (8² - d²)
PD² = 6² - a² + 8² - (10² - a²)
PD² = 6² - a² + 8² - 10² + a²
PD² =  6² + 8² - 10²
PD² = 36 + 64 - 100
PD² = 100 - 100
PD = 0

Karena hasilnya nol kemungkinan ada kekeliruan pada soal.

Kemungkinan II : 

Saya akan menukarkan ukurannya antara PC dan PB

Diketahui : 
PC = 10 cm
PA = 6 cm
PB = 8 cm 

Ditanya : 
PD = ... ?

Jawab : 

PA² = a² + b²
6² = a² + b²
b² = 6² - a²

PB² = a² + d²
8² = a² + d²
d² = 8² - a²

PC² = c² + d²
10² = c² + d²
c² = 10² - d²

PD² = b² + c²
PD² = (6² - a²) + (10² - d²)
PD² = 6² - a² + 10² - (8² - a²)
PD² = 6² - a² + 10² - 8² + a²
PD² =  6² + 10² - 8²
PD² = 36 + 100 - 64
PD² = 136 - 64
PD² = 72
PD = √72
PD = 
PD = 6√2 cm 

Jadi jara k titik P dan D adalah 6√2 cm

cara cepat :

PD² + PB² = PA² + PC²
PD² + 8² = 6² + 10²
       PD² = 6² + 10² - 8²
       PD² = 36 + 100 - 64
       PD² = 136 - 64
       PD² = 72
        PD = √72
        PD = 6√2 cm

Jadi jara k titik P dan D adalah 6√2 cm


_________________________