Bab 1 Matriks
Latihan 1.4
Halaman 51
Matematika (MTK)
Kelas 12 (XII) SMA/SMK/MAK
Semester 2 K13
![$\begin{align}A^2&=\left[\begin{array}{ccc}4&1\\3&-2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}4&1\\3&-2\end{array}\right]&&=\left[\begin{array}{ccc}16+3&4-2\\12-6&3+4\end{array}\right]&&=\left[\begin{array}{ccc}19&2\\6&7\end{array}\right] \\ A^3&=\left[\begin{array}{ccc}19&2\\6&7\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}4&1\\3&-2\end{array}\right]&&=\left[\begin{array}{ccc}76+6&19-4\\24+21&6-14\end{array}\right]&&=\left[\begin{array}{ccc}82&15\\45&-8\end{array}\right]\end{align}](https://tex.z-dn.net/?f=%24%5Cbegin%7Balign%7DA%5E2%26%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D4%261%5C%5C3%26-2%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D4%261%5C%5C3%26-2%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%26%26%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D16%2B3%264-2%5C%5C12-6%263%2B4%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%26%26%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D19%262%5C%5C6%267%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%5C%5C+A%5E3%26%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D19%262%5C%5C6%267%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D4%261%5C%5C3%26-2%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%26%26%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D76%2B6%2619-4%5C%5C24%2B21%266-14%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%26%26%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D82%2615%5C%5C45%26-8%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Cend%7Balign%7D)
![$\begin{align}A^4&=\left[\begin{array}{ccc}82&15\\45&-8\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}4&1\\3&-2\end{array}\right]&&=\left[\begin{array}{ccc}328+45&82-30\\180-24&45+16\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{ccc}373&52\\156&61\end{array}\right]\end{align}](https://tex.z-dn.net/?f=%24%5Cbegin%7Balign%7DA%5E4%26%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D82%2615%5C%5C45%26-8%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D4%261%5C%5C3%26-2%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%26%26%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D328%2B45%2682-30%5C%5C180-24%2645%2B16%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%5C%5C+%26%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D373%2652%5C%5C156%2661%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Cend%7Balign%7D)
![$\begin{align}A^2&=\left[\begin{array}{ccc}2&-1&3\\1&2&4\\5&-3&6\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2&-1&3\\1&2&4\\5&-3&6\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{ccc}4-1+15&-2-2-9&6-4+18\\2+2+20&-1+4-12&3+8+24\\10-3+30&-5-6-18&15-12+36\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{ccc}18&-13&20\\24&-9&35\\37&-29&39\end{array}\right]\end{align}](https://tex.z-dn.net/?f=%24%5Cbegin%7Balign%7DA%5E2%26%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D2%26-1%263%5C%5C1%262%264%5C%5C5%26-3%266%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D2%26-1%263%5C%5C1%262%264%5C%5C5%26-3%266%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%5C%5C+%26%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D4-1%2B15%26-2-2-9%266-4%2B18%5C%5C2%2B2%2B20%26-1%2B4-12%263%2B8%2B24%5C%5C10-3%2B30%26-5-6-18%2615-12%2B36%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%5C%5C+%26%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D18%26-13%2620%5C%5C24%26-9%2635%5C%5C37%26-29%2639%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Cend%7Balign%7D)
![$\begin{align}\det(A^2)&=-6.318-16.835-13.920-[-6.660-18.270-12.168] \\ &= -37.073-(-37.098) \\ &=-37.073+37.098 \\ &=25\end{align}](https://tex.z-dn.net/?f=%24%5Cbegin%7Balign%7D%5Cdet%28A%5E2%29%26%3D-6.318-16.835-13.920-%5B-6.660-18.270-12.168%5D+%5C%5C+%26%3D+-37.073-%28-37.098%29+%5C%5C+%26%3D-37.073%2B37.098+%5C%5C+%26%3D25%5Cend%7Balign%7D)
![I = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=I+%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%260%5C%5C0%261%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
![I^{-1}= \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=I%5E%7B-1%7D%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%260%5C%5C0%261%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
Latihan 1.4
Halaman 51
Matematika (MTK)
Kelas 12 (XII) SMA/SMK/MAK
Semester 2 K13
1. Tentukan invers matriks berikut.
a. A = [-2 5]
[4 0]
B = [4 0 7]
[5 1 - 2]
[0 3 -1]
Jawab:
__________________________________________
2. Buatlah matriks A berordo 2×2 yang memiliki invers matriks
A^-1= [4 -2]
[3 -2]
Jawab:
__________________________________________
3. Gunakan matriks persegi B dengan det(B) ≠ 0 untuk menunjukkan bahwa
a. (B-¹)-¹ = B
b. (Bt)-¹ = (b-¹)t
Jawab:
a.
b.
__________________________________________
4. Selidiki bahwa det(K^n)=(det K)^n untuk matriks :
a. A= [4 1]
[3 -2]
dengan n=4
b. A= [2 -1 3]
[1 2 4]
[5 -3 6]
dengan n=2
catatan : didefinisikan K^n = K x K^n-1
Jawab:
a.)
Dengan A⁴
Berdasarkan hasil berikut:
Dengan demikian, cek validasi:
b.)
Cek validasi determinan:
Dengan:
Karena sama, maka:
__________________________________________
5. Jika semua elemen pada salah satu baris matriks persegi adalah nol. Apakah matriks tersebut memiliki invers? Mengapa?
Jawab:
Matriks tersebut tidak memiliki invers karena hasil det nya 0
suatu matriks memiliki invers jika dan hanya jika matriks itu merupakan matriks persegi yang memiliki det tidak sama dengan 0
__________________________________________
6. Jika matriks persegi A= abcd dengan a, b, c, dan d adalah bilangan bulat, tentukan semua kemungkinan matriks A yang memenuhi persamaan A2= I.
Jawab:
__________________________________________
7. Adakah suatu matriks yang inversnya adalah diri sendiri?
Jawab:
Matriks yang inversnya adalah diri sendiri disebut matriks yang involutory, dalam hal ini adalah matriks identitas.
Matriks identitas disebut juga sebagai matriks satuan karena memiliki nilai-nilai elemen atau anggota pada diagonal utama adalah 1 dan nilai-nilai elemen lainnya adalah 0. Matriks identitas termasuk jenis matriks persegi sebab banyaknya baris dan kolom adalah sama, sehingga ordonya n x n.
Berikut pembuktian bahwa matriks identitas merupakan suatu matriks yang inversnya adalah dirinya sendiri.
Ingat, jika ![A = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=A+%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Da%26b%5C%5Cc%26d%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
maka matriks inversnya adalah ![A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{ccc}d&-b\\-c&a\\\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=A%5E%7B-1%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%7CA%7C%7D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Dd%26-b%5C%5C-c%26a%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
Dengan determinan |A| = ad - bc
Kita ambil contoh mencari invers dari matriks identitas berordo 2 x 2, .
Siapkan determinannya, (1)(1) - (0)(0) = 1.
Menentukan inversnya, ![I^{-1}= \frac{1}{|~1~|} \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=I%5E%7B-1%7D%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%7C%7E1%7E%7C%7D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%260%5C%5C0%261%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
Diperoleh invers yang sama dengan matriks identitas semula, yakni
__________________________________________
8. Apa beda soal nomor 6 dan soal nomor 7?
Jawab:
__________________________________________
Pengayaan Latihan 1.4 Bab 1 Matriks MTK Kelas 12 Halaman 52
9. Diketahui A dan B adalah matriks 2x2 dan keduanya memiliki invers. Selidiki apakah berlaku:
a) (AB)^-1 = A^-1B^-1
b) A^-1B^-1 = (BA)^-1
Jawab:
__________________________________________
10. Misalkan A matriks 2×2 yang memiliki invers. Buktikan bahwa |A^-1| = 1/ |A|
Jawab:
__________________________________________
