Bab 1 Matriks
Latihan 1.5
Halaman 64
Matematika (MTK)
Kelas 12 (XII) SMA/SMK/MAK
Semester 2 K13
1. Lusi mempunyai uang Rp150.000,00 lebihnya dari uang Sinta. Jika tiga kali uang Lusi ditambah dua kali uangnya Sinta jumlahnya adalah Rp950.000,00. Tentukan besar masing-masing uang Lusi dan Sinta!
Jawab:
L = S + 150.000
3L + 2S = 950.000
-->
3(S + 150.000) + 2S = 950.000
3S + 450.000 + 2S = 950.000
5S = 950.000-450.000
5S = 500.000
S = 100.000
L = 100.000 + 150.000
L = 250.000
_____________________________________
2. Irfan dan Roni bekerja di pabrik kaos bagian menyablon logo. Irfan dapat menyablon 300 kaos setiap jam, sedangkan Roni dapat menyablon 200 kaos setiap jam. Lama waktu mengerjakan Irfan dan Roni tidak sama. Jumlah jam kerja Irfan dan Roni adalah 50 jam dengan banyak kaos yang telah disablon sebanyak 12.400 kaos. Berapa lama kerja Irfan dan Roni?
Jawab:
Misal jam kerja Irfan = I dan jam kerja Roni = R
I + R = 50
300I + 200R = 12.400
300I + 200R = 12.400
3I + 2R = 124
gunakan eliminasi,
3I + 2R = 124 | x 1
I + R = 50 | x 2
3I + 2R = 124
2I + 2R = 100_-
I = 24 jam
I + R = 50
24 + R = 50
R = 50 - 24
R = 26 jam
Jadi Irfan bekerja selama 24 jam dan Roni bekerja selama 26 jam.
_____________________________________
3. Ingat kembali bahwa persamaan ax + by = c dengan a, b, dan c adalah konstanta menyatakan persamaan garis lurus. Carilah penyelesaian sistem persamaan linear berikut.
2x – 3y = 6
x + 2y = 3
Kemudian gambarlah garis lurus dari masing-masing persamaan linear pada satu diagram. Apakah yang dapat disimpulkan tentang koordinat titik potong kedua garis dengan penyelesaian sistem persamaan linear di atas?
Jawab:
(2x - 3y = 6) - 2(x+ 2y = 3) = 2x-3y=6 - 2x +4y=6 , y = 0
jadi 2x - 3(0) = 6
2x - 0 = 6
x=3
Jadi x = 3 dan y = 0, sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {3, 0}
_____________________________________
4. Diketahui sistem persamaan linear
2x – 3y = 6
2x – 3y = 9
a) Carilah penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode matriks.
b) Carilah penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode eliminasi.
c) Metode manakah yang lebih cocok untuk menyelesaikan sistem persamaan linear di atas.
d) Gambarlah garis lurus untuk tiap-tiap persamaan linear pada satu diagram.
e) Apakah yang dapat disimpulkan tentang penyelesaian sistem persamaan linear dengan kedudukan kedua garis untuk setiap sistem persamaan.
Jawab:
a. Kita tidak dapat menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan matriks karena determinan matriks koefisien = 0
b. Dengan menggunakan eliminasi, kita dapat menunjukkan bahwa sistem persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian.
c. Metode yang lebih cocok adalah metode eliminasi.
d. Jika sistem persamaan linear 2 variabel tidak mempunyai penyelesaian, maka kedudukan kedua garis adalah sejajar.
_____________________________________
5. Diketahui sistem persamaan linear
2x – 3y = 6
4x – 6y = 12
a) Carilah penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode matriks.
b) Carilah penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode eliminasi.
c) Metode manakah yang lebih cocok untuk menyelesaikan sistem persamaan linear di atas.
d) Gambarlah garis lurus dari tiap-tiap persamaan linear pada satu diagram.
e) Apakah yang dapat disimpulkan tentang penyelesaian sistem persamaan linear dengan kedudukan kedua garis untuk setiap sistem persamaan.
Jawab:
_____________________________________
6. Pada saat ingin menonton film ke bioskop, Ida, Ahmad, dan Putra masing-masing membeli snack. Ida membeli dua cokelat, satu minuman dan dua bungkus popcorn dengan membayar Rp29.000,00. Ahmad menghabiskan Rp19.000,00 karena membeli satu cokelat, dua minuman dan satu bungkus pop corn. Sedangkan Putra membeli dua minuman dan tiga bungkus pop corn dengan menghabiskan Rp33.000,00. Berapa harga dari tiap-tiap snack?
Jawab:
x = banyaknya coklat
y = banyaknya minuman
z = banyaknya bungkus popcorn
Step-1: menyusun sistim persamaan linear tiga variabel
Dari situasi di atas kita susun persamaan-persamaan sebagai berikut.
Berdasarkan pembelian oleh Ida terbentuk [persamaan-1], yakni:
2x + y + 2z = 29.000
Berdasarkan pembelian oleh Ahmad terbentuk [persamaan-2], yakni:
x + 2y + z = 19.000
Berdasarkan pembelian oleh Putra terbentuk [persamaan-3], yakni:
2y + 3z = 33.000
Step-2: eliminasi persamaan-1 dan persamaan-2
Dari ketiga persamaan di atas, tampak dengan jelas bahwa persamaan-1 dan persamaan-2 memiliki hubungan yang menarik ketika akan dieliminasi. Jika persamaan-2 kita kalikan dengan 2, maka koefisien x dan z kedua persamaan menjadi bernilai sama sehingga memudahkan proses eliminasi.
2x + 4y + 2z = 38.000 ⇒ persamaan-1 (tetap)
2x + y + 2z = 29.000 ⇒ persamaan-2 (dikalikan 2)
----------------------------- ( - )
3y = 9.000 ⇒
Step-3: substitusikan nilai variabel y ke persamaan-3
Selanjutnya, kita substitusikan nilai variabel y tersebut ke persamaan-3 untuk mendapatkan nilai variabel z.
y = 3.000 ⇒ 2(3.000) + 3z = 33.000 ... [persamaan-3]
6.000 + 3z = 33.000
3z = 27.000 ⇒
Step-4: substitusikan nilai variabel y dan z ke persamaan-1
Langkah terakhir, kita substitusikan variabel y dan z ke persamaan-1 atau persamaan-2. Kita pilih persamaan-1.
2x + 3.000 + 2(9.000) = 29.000 ... [persamaan-1]
2x + 3.000 + 18.000 = 29.000
2x = 29.000 - 21.000
2x = 8.000 ⇒
Jawaban
Dari seluruh pengerjaan di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut:
Harga coklat per buah sebesar
Harga minuman per buah sebesar
Harga popcorn per bungkus sebesar
_____________________________________
7. Sudut suatu segitiga yang berukuran sedang adalah 300 lebih besar daripada sudut yang terkecil. Sudut yang terbesar 100 lebih besar daripada sudut sedang. Berapakah besar tiap-tiap sudut?
Jawab:
Misal
x = sudut segitiga yang paling besar
y = sudut segitiga yang sedang
z = sudut segitiga yang paling kecil
dari soal diketahui
karena total sudut segitiga adalah 180derajat,
maka
sehingga
_____________________________________
8. Diberikan penyelesaian sistem persamaan linear adalah x=1/2 dan y = -2/3. Susunlah 3 sistem persamaan linear yang masing-masing terdiri atas 2 persamaan linear dengan dua variabel dan penyelesaiannya adalah nilai x dan y di atas!
Jawab:
_____________________________________
Untuk soal no. 9 – 10, carilah solusi persamaan linear dengan
menggunakan matriks.
9. 2x – 3y + z = –9
2x + y – z = 9
x + y + z = 5
Jawab:
2x - 3y + z = -9
2x + y - z = 9
___________ +
4x - 2y = 0
y = 2x
2x + y - z = 9
x + y + z = 5
__________ +
3x + 2y = 14
3x + 2(2x) = 14
3x + 4x = 14
7x = 14
x = 2
y = 2x = 2(2) = 4
x + y + z = 5
2 + 4 + z = 5
6 + z = 5
z = -1
_____________________________________
10. x + y – z = –4 .
2x + 4y + 2z = 10.
x + 3y + z = 4
Jawab:
_____________________________________
Latihan 1.5
Halaman 64
Matematika (MTK)
Kelas 12 (XII) SMA/SMK/MAK
Semester 2 K13
1. Lusi mempunyai uang Rp150.000,00 lebihnya dari uang Sinta. Jika tiga kali uang Lusi ditambah dua kali uangnya Sinta jumlahnya adalah Rp950.000,00. Tentukan besar masing-masing uang Lusi dan Sinta!
Jawab:
L = S + 150.000
3L + 2S = 950.000
-->
3(S + 150.000) + 2S = 950.000
3S + 450.000 + 2S = 950.000
5S = 950.000-450.000
5S = 500.000
S = 100.000
L = 100.000 + 150.000
L = 250.000
_____________________________________
2. Irfan dan Roni bekerja di pabrik kaos bagian menyablon logo. Irfan dapat menyablon 300 kaos setiap jam, sedangkan Roni dapat menyablon 200 kaos setiap jam. Lama waktu mengerjakan Irfan dan Roni tidak sama. Jumlah jam kerja Irfan dan Roni adalah 50 jam dengan banyak kaos yang telah disablon sebanyak 12.400 kaos. Berapa lama kerja Irfan dan Roni?
Jawab:
Misal jam kerja Irfan = I dan jam kerja Roni = R
I + R = 50
300I + 200R = 12.400
300I + 200R = 12.400
3I + 2R = 124
gunakan eliminasi,
3I + 2R = 124 | x 1
I + R = 50 | x 2
3I + 2R = 124
2I + 2R = 100_-
I = 24 jam
I + R = 50
24 + R = 50
R = 50 - 24
R = 26 jam
Jadi Irfan bekerja selama 24 jam dan Roni bekerja selama 26 jam.
_____________________________________
3. Ingat kembali bahwa persamaan ax + by = c dengan a, b, dan c adalah konstanta menyatakan persamaan garis lurus. Carilah penyelesaian sistem persamaan linear berikut.
2x – 3y = 6
x + 2y = 3
Kemudian gambarlah garis lurus dari masing-masing persamaan linear pada satu diagram. Apakah yang dapat disimpulkan tentang koordinat titik potong kedua garis dengan penyelesaian sistem persamaan linear di atas?
Jawab:
(2x - 3y = 6) - 2(x+ 2y = 3) = 2x-3y=6 - 2x +4y=6 , y = 0
jadi 2x - 3(0) = 6
2x - 0 = 6
x=3
Jadi x = 3 dan y = 0, sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {3, 0}
_____________________________________
4. Diketahui sistem persamaan linear
2x – 3y = 6
2x – 3y = 9
a) Carilah penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode matriks.
b) Carilah penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode eliminasi.
c) Metode manakah yang lebih cocok untuk menyelesaikan sistem persamaan linear di atas.
d) Gambarlah garis lurus untuk tiap-tiap persamaan linear pada satu diagram.
e) Apakah yang dapat disimpulkan tentang penyelesaian sistem persamaan linear dengan kedudukan kedua garis untuk setiap sistem persamaan.
Jawab:
a. Kita tidak dapat menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan matriks karena determinan matriks koefisien = 0
b. Dengan menggunakan eliminasi, kita dapat menunjukkan bahwa sistem persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian.
c. Metode yang lebih cocok adalah metode eliminasi.
d. Jika sistem persamaan linear 2 variabel tidak mempunyai penyelesaian, maka kedudukan kedua garis adalah sejajar.
_____________________________________
5. Diketahui sistem persamaan linear
2x – 3y = 6
4x – 6y = 12
a) Carilah penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode matriks.
b) Carilah penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode eliminasi.
c) Metode manakah yang lebih cocok untuk menyelesaikan sistem persamaan linear di atas.
d) Gambarlah garis lurus dari tiap-tiap persamaan linear pada satu diagram.
e) Apakah yang dapat disimpulkan tentang penyelesaian sistem persamaan linear dengan kedudukan kedua garis untuk setiap sistem persamaan.
Jawab:
_____________________________________
6. Pada saat ingin menonton film ke bioskop, Ida, Ahmad, dan Putra masing-masing membeli snack. Ida membeli dua cokelat, satu minuman dan dua bungkus popcorn dengan membayar Rp29.000,00. Ahmad menghabiskan Rp19.000,00 karena membeli satu cokelat, dua minuman dan satu bungkus pop corn. Sedangkan Putra membeli dua minuman dan tiga bungkus pop corn dengan menghabiskan Rp33.000,00. Berapa harga dari tiap-tiap snack?
Jawab:
x = banyaknya coklat
y = banyaknya minuman
z = banyaknya bungkus popcorn
Step-1: menyusun sistim persamaan linear tiga variabel
Dari situasi di atas kita susun persamaan-persamaan sebagai berikut.
Berdasarkan pembelian oleh Ida terbentuk [persamaan-1], yakni:
2x + y + 2z = 29.000
Berdasarkan pembelian oleh Ahmad terbentuk [persamaan-2], yakni:
x + 2y + z = 19.000
Berdasarkan pembelian oleh Putra terbentuk [persamaan-3], yakni:
2y + 3z = 33.000
Step-2: eliminasi persamaan-1 dan persamaan-2
Dari ketiga persamaan di atas, tampak dengan jelas bahwa persamaan-1 dan persamaan-2 memiliki hubungan yang menarik ketika akan dieliminasi. Jika persamaan-2 kita kalikan dengan 2, maka koefisien x dan z kedua persamaan menjadi bernilai sama sehingga memudahkan proses eliminasi.
2x + 4y + 2z = 38.000 ⇒ persamaan-1 (tetap)
2x + y + 2z = 29.000 ⇒ persamaan-2 (dikalikan 2)
----------------------------- ( - )
3y = 9.000 ⇒
Step-3: substitusikan nilai variabel y ke persamaan-3
Selanjutnya, kita substitusikan nilai variabel y tersebut ke persamaan-3 untuk mendapatkan nilai variabel z.
y = 3.000 ⇒ 2(3.000) + 3z = 33.000 ... [persamaan-3]
6.000 + 3z = 33.000
3z = 27.000 ⇒
Step-4: substitusikan nilai variabel y dan z ke persamaan-1
Langkah terakhir, kita substitusikan variabel y dan z ke persamaan-1 atau persamaan-2. Kita pilih persamaan-1.
2x + 3.000 + 2(9.000) = 29.000 ... [persamaan-1]
2x + 3.000 + 18.000 = 29.000
2x = 29.000 - 21.000
2x = 8.000 ⇒
Jawaban
Dari seluruh pengerjaan di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut:
Harga coklat per buah sebesar
Harga minuman per buah sebesar
Harga popcorn per bungkus sebesar
_____________________________________
7. Sudut suatu segitiga yang berukuran sedang adalah 300 lebih besar daripada sudut yang terkecil. Sudut yang terbesar 100 lebih besar daripada sudut sedang. Berapakah besar tiap-tiap sudut?
Jawab:
Misal
x = sudut segitiga yang paling besar
y = sudut segitiga yang sedang
z = sudut segitiga yang paling kecil
dari soal diketahui
karena total sudut segitiga adalah 180derajat,
maka
sehingga
_____________________________________
8. Diberikan penyelesaian sistem persamaan linear adalah x=1/2 dan y = -2/3. Susunlah 3 sistem persamaan linear yang masing-masing terdiri atas 2 persamaan linear dengan dua variabel dan penyelesaiannya adalah nilai x dan y di atas!
Jawab:
_____________________________________
Untuk soal no. 9 – 10, carilah solusi persamaan linear dengan
menggunakan matriks.
9. 2x – 3y + z = –9
2x + y – z = 9
x + y + z = 5
Jawab:
2x - 3y + z = -9
2x + y - z = 9
___________ +
4x - 2y = 0
y = 2x
2x + y - z = 9
x + y + z = 5
__________ +
3x + 2y = 14
3x + 2(2x) = 14
3x + 4x = 14
7x = 14
x = 2
y = 2x = 2(2) = 4
x + y + z = 5
2 + 4 + z = 5
6 + z = 5
z = -1
_____________________________________
10. x + y – z = –4 .
2x + 4y + 2z = 10.
x + 3y + z = 4
Jawab:
_____________________________________
