Bab 3 (Induksi Matematika)
Latihan 3.1
Halaman 154
Matematika (MTK)
Kelas 12 (XII) SMA/SMK/MAK
Semester 2 K13
1. Membuat generalisasi dan menemukan formula. Perhatikan grid sebagai berikut, kemudian buatlah generalisasi untuk menentukan
a. banyaknya persegi yang bisa ditemukan pada grid.
b. Banyaknya persegipanjang yang bisa ditemukan pada grid.
Jawab:
"BELUM TERSEDIA"
______________________________
2. Membuktikan dengan Induksi matematis. Buktikan bahwa pernyataan berikut bernilai benar.
a. 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n(n + 1) , untuk setiap bilangan asli n.
b. 1 + 2 + 4 + 8 + ... 2n − 1 = 2n − 1, untuk setiap bilangan asli n.
c. 1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2 = n(n+1(2n+1)/6, untuk setiap bilangan asli n
d. 1^3 + 2^3 + 3^3 +.... +n^3 = (1 + 2 + 3 +.....+n)^2 ,untuk setiap bilangan asli n
e. 1.2 + 2.3 +3.4 + .... + n (n+1 ) = n (n+1 ) (n +2) per 3 untuk setiap bilangan asli
Jawab:
a.
Dalam pembuktian dengan menggunakan induksi matematika ada dua langkah yaitu :
1) buktikan untuk n = 1 benar
2) jika untuk n = k benar, buktikan bahwa untuk n = k + 1 juga benar
2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n(n + 1)
1) akan dibuktikan untuk n = 1 benar
2(1) = 1(1 + 1)
2 = 1(2)
2 = 2
BENAR
2) jika n = k benar
2 + 4 + 6 + 8 + .... + 2k = k(k + 1)
akan dibuktikan untuk n = k + 1 juga benar
2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)
|__________________|
k(k + 1) + 2(k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)
(k + 1)(k + 2) = (k + 1)((k + 1) + 1)
(k + 1)((k + 1) + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)
"Terbukti"
b.
1 + 2 + 4 + 8 + ... 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ − 1
Misalkan n = x+1
1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2ˣ⁻¹ + 2ˣ = 2ˣ⁺¹ - 1
(1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2ˣ⁻¹) + 2ˣ = 2ˣ⁺¹ - 1
2ˣ - 1 + 2ˣ = 2ˣ⁺¹ - 1
2ˣ + 2ˣ - 1 = 2ˣ⁺¹ - 1
2.2ˣ - 1 = 2ˣ⁺¹ - 1
2ˣ⁺¹ - 1 = 2ˣ⁺¹ - 1
2ⁿ - 1 = 2ⁿ - 1 {TERBUKTI}
c.
d.
e.
______________________________
3. Barisan Fibonacci adalah barisan yang berbentuk
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, …
Perhatikan bahwa dua suku pertama adalah 1 dan 1, dan sebarang suku selanjutnya adalah jumlah dua suku sebelumnya. Contohnya suku ketiga adalah 1 + 1 = 2, suku keempat adalah 1 + 2 = 3, dan seterusnya. Kita menyatakan suku ke-n dari barisan ini sebagai Fn. Jadi, F1 = 1, F2= 1, dan Fn = Fn-1 + Fn-2.
Barisan Fibonacci perlu diperkenalkan disini karena barisan Fibonacci berkaitan erat dengan induksi matematis. Barisan ini memiliki struktur dan pola yang menarik. Perhatikan kondisi Fn = Fn-1 + Fn-2 atau ekuivalen dengan Fn+1 = Fn + Fn-1 yang merupakan langkah persiapan induksi yang sempurna. Kondisi tersebut mengarahkan kita bahwa kita dapat menentukan sesuatu tentang Fn dengan melihat suku-suku barisan yang sebelumnya. Karena itu dalam penggunaan induksi untuk membuktikan sesuatu tentang barisan Fibonacci, dapat diharapkan untuk menggunakan persamaan Fn = Fn-1 + Fn-2 dalam
langkah pembuktiannya.
Buktikan sifat-sifat barisan Fibonacci berikut:
Jawab:
"BELUM TERSEDIA" ______________________________
4. Pada tahun ajaran baru ada 30 siswa kelas baru di kelas X. Untuk memperkenalkan diri setiap siswa saling bersalaman dengan siswa lainnya. Kita ingin mengetahui ada berapa banyak jabat tangan yang terjadi.
a. Untuk mengetahui hal tersebut, isilah tabel di bawah ini
b. Apakah Anda sudah dapat menduga pola banyak jabat tangan yang terjadi? Tuliskan pola itu dan gunakan untuk mencari banyak jabat tangan yang terjadi jika ada 10 siswa, 30 siswa, dan n siswa.
c. Buktikanlah pola yang diperoleh di bagian (ii) dengan menggunakan induksi matematis !
Jawab:
"BELUM TERSEDIA" ______________________________
5. Tunjukkan apa yang salah pada “pembuktian” “teorema” berikut .
a. “Teorema” : Untuk setiap bilangan bulat positif n, berlaku :
Jawab:
"BELUM TERSEDIA" ______________________________
Latihan 3.1
Halaman 154
Matematika (MTK)
Kelas 12 (XII) SMA/SMK/MAK
Semester 2 K13
1. Membuat generalisasi dan menemukan formula. Perhatikan grid sebagai berikut, kemudian buatlah generalisasi untuk menentukan
a. banyaknya persegi yang bisa ditemukan pada grid.
b. Banyaknya persegipanjang yang bisa ditemukan pada grid.
Jawab:
"BELUM TERSEDIA"
______________________________
2. Membuktikan dengan Induksi matematis. Buktikan bahwa pernyataan berikut bernilai benar.
a. 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n(n + 1) , untuk setiap bilangan asli n.
b. 1 + 2 + 4 + 8 + ... 2n − 1 = 2n − 1, untuk setiap bilangan asli n.
c. 1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2 = n(n+1(2n+1)/6, untuk setiap bilangan asli n
d. 1^3 + 2^3 + 3^3 +.... +n^3 = (1 + 2 + 3 +.....+n)^2 ,untuk setiap bilangan asli n
e. 1.2 + 2.3 +3.4 + .... + n (n+1 ) = n (n+1 ) (n +2) per 3 untuk setiap bilangan asli
Jawab:
a.
Dalam pembuktian dengan menggunakan induksi matematika ada dua langkah yaitu :
1) buktikan untuk n = 1 benar
2) jika untuk n = k benar, buktikan bahwa untuk n = k + 1 juga benar
2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n(n + 1)
1) akan dibuktikan untuk n = 1 benar
2(1) = 1(1 + 1)
2 = 1(2)
2 = 2
BENAR
2) jika n = k benar
2 + 4 + 6 + 8 + .... + 2k = k(k + 1)
akan dibuktikan untuk n = k + 1 juga benar
2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)
|__________________|
k(k + 1) + 2(k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)
(k + 1)(k + 2) = (k + 1)((k + 1) + 1)
(k + 1)((k + 1) + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)
"Terbukti"
b.
1 + 2 + 4 + 8 + ... 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ − 1
Misalkan n = x+1
1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2ˣ⁻¹ + 2ˣ = 2ˣ⁺¹ - 1
(1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2ˣ⁻¹) + 2ˣ = 2ˣ⁺¹ - 1
2ˣ - 1 + 2ˣ = 2ˣ⁺¹ - 1
2ˣ + 2ˣ - 1 = 2ˣ⁺¹ - 1
2.2ˣ - 1 = 2ˣ⁺¹ - 1
2ˣ⁺¹ - 1 = 2ˣ⁺¹ - 1
2ⁿ - 1 = 2ⁿ - 1 {TERBUKTI}
c.
d.
e.
______________________________
3. Barisan Fibonacci adalah barisan yang berbentuk
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, …
Perhatikan bahwa dua suku pertama adalah 1 dan 1, dan sebarang suku selanjutnya adalah jumlah dua suku sebelumnya. Contohnya suku ketiga adalah 1 + 1 = 2, suku keempat adalah 1 + 2 = 3, dan seterusnya. Kita menyatakan suku ke-n dari barisan ini sebagai Fn. Jadi, F1 = 1, F2= 1, dan Fn = Fn-1 + Fn-2.
Barisan Fibonacci perlu diperkenalkan disini karena barisan Fibonacci berkaitan erat dengan induksi matematis. Barisan ini memiliki struktur dan pola yang menarik. Perhatikan kondisi Fn = Fn-1 + Fn-2 atau ekuivalen dengan Fn+1 = Fn + Fn-1 yang merupakan langkah persiapan induksi yang sempurna. Kondisi tersebut mengarahkan kita bahwa kita dapat menentukan sesuatu tentang Fn dengan melihat suku-suku barisan yang sebelumnya. Karena itu dalam penggunaan induksi untuk membuktikan sesuatu tentang barisan Fibonacci, dapat diharapkan untuk menggunakan persamaan Fn = Fn-1 + Fn-2 dalam
langkah pembuktiannya.
Buktikan sifat-sifat barisan Fibonacci berikut:
Jawab:
"BELUM TERSEDIA" ______________________________
4. Pada tahun ajaran baru ada 30 siswa kelas baru di kelas X. Untuk memperkenalkan diri setiap siswa saling bersalaman dengan siswa lainnya. Kita ingin mengetahui ada berapa banyak jabat tangan yang terjadi.
a. Untuk mengetahui hal tersebut, isilah tabel di bawah ini
b. Apakah Anda sudah dapat menduga pola banyak jabat tangan yang terjadi? Tuliskan pola itu dan gunakan untuk mencari banyak jabat tangan yang terjadi jika ada 10 siswa, 30 siswa, dan n siswa.
c. Buktikanlah pola yang diperoleh di bagian (ii) dengan menggunakan induksi matematis !
Jawab:
"BELUM TERSEDIA" ______________________________
5. Tunjukkan apa yang salah pada “pembuktian” “teorema” berikut .
a. “Teorema” : Untuk setiap bilangan bulat positif n, berlaku :
Jawab:
"BELUM TERSEDIA" ______________________________
