Ayo Kita Berlatih 6.1
Halaman 11-13
Bab 6 (Teorema Pythagoras)
Matematika (MTK)
Kelas 8 SMP/MTS
Semester 2 K13
1. Gunakan teorema Pythagoras untuk menentukan nilai yang belum diketahui pada masing-masing gambar berikut.
Penyelesaian:
[Soal-a]
Nilai x sebagai panjang sisi miring, sehingga
x² = 12² + 15²
Diperoleh nilai x = 3√41 satuan panjang
[Soal-b]
Nilai x sebagai salah satu panjang sisi penyiku, sehingga
x² = 13² - 5²
Diperoleh nilai x = 12 satuan panjang
[Soal-c]
Nilai a sebagai salah satu panjang sisi penyiku, sehingga
a² = (10,6)² - (5,6)²
Diperoleh nilai a = 9 inci.
[Soal-d]
Nilai a sebagai salah satu panjang sisi penyiku, sehingga
a² = (10,4)² - (9,6)²
Diperoleh nilai a = 4 m.
[Soal-e]
Nilai x sebagai salah satu panjang sisi penyiku, sehingga
x² = (8)² - (6)²
Diperoleh nilai x = 2√7 satuan panjang
[Soal-f]
Nilai c sebagai panjang sisi miring, sehingga
c² = (7,2)² + (9,6)²
Diperoleh nilai c = 12 kaki.
_______________________________
2. Tujuan dipasangkan kawat bubut pada suatu tiang telepon adalah untuk menopangnya. Kawat bubut dipasang pada tiang telepon setinggi 8 meter dari tanah.
a. Jelaskan cara yang akan kalian lakukan untuk menentukan panjang kawat bubut tanpa mengukur langsung kawat tersebut.
b. Tentukan panjang kawat jika jarak antara kawat dan tiang pada tanah adalah 6 meter.
Penyelesaian:
a. Tanah yang datar dan tiang listrik membentuk sudut siku-siku, maka bangun yang terbentuk adalah segitiga siku-siku.
Pada segitiga siku-siku bisa kita terapkan pyhtagoras untuk mencari panjang sisi yg lain tanpa harus mengukur langsung.
b. misalkan : a = tinggi tiang yg dipasang kawat dari tanah
b = jarak pada tanah
c = panjang kawat bubut
c² = a² + b²
c² = 8² + 6²
= 64 + 36
= 100
c = √100
c = 10 m
Jadi panjang kawat bubut adalah 10 m
_______________________________
3. Tentukan nilai x pada kedua gambar berikut.
Penyelesaian:
Diketahui:
Sisi Miring (sisi terpanjang) = 20 cm → c
Sisi lainnya = 12 cm → a
Ditanya:
Nilai x = ... ? → b
Jawab:
Untuk menyelesaiakan gunakan rumus teorema Pythagoras.
a² + b² = c²
12² + x² = 20²
144 + x² = 400
x² = 400 - 144
x² = 256
x = √256
x = 16 cm
Jadi Nilai x pada gambar pertama adalah 16 cm
Gambar kedua
perhatikan gambar kedua, terdapat 2 segitiga siku-siku, yaitu segitiga siku-siku kecil dan besar.
kita selesaiakan segitiga kecil terlebih dahulu
Diketahui:
Sisi terpanjang (sisi miring) pada segitiga kecil = 13 mm
Sisi yang lain = 5 mm
Ditanya:
sisi tegak = ... ?
Jawab:
Sisi tegak = √(13² - 5²)
= √(169 - 25)
= √144
= 12 mm
Langkah selanjutnya, perhatikan segitiga besar
Diketahui:
Sisi tegak = 12 mm
Sisi mendatar = 35 mm
Ditanya:
Sisi miring (x) = ... ?
Jawab:
x = √(35² + 12²)
= √(1225 + 144)
= √1369
= 37 mm
Jadi nilai x pada gambar kedua adalah 37 mm
_______________________________
4. Apakah suatu segitiga yang panjang ketiga sisinya berturut-turut 9 cm,12 cm, dan 18 cm merupakan segitiga siku-siku? Jelaskan.
Penyelesaian:
Diketahui a = 9 cm, b = 12 cm, dan c = 18 cm.
a² + b² = c²
⇔ 9² + 12² = c²
⇔ 81 + 144 = c²
⇔ c² = 225
⇔ c = 15
Jadi, suatu segitiga yang panjang ketiga sisinya berturut-turut 9 cm, 12 cm, dan 18 cm bukan segitiga siku-siku.
_______________________________
5. Jika panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku berturut-turut adalah x, 15, dan x + 5, tentukan nilai x.
Penyelesaian:
Diketahui:
Sisi" segitiga siku" adalah x, 15 dan x + 15
Ditanya:
Nilai x = ... ?
Jawab:
Penyelesaian soal ini menggunakan teorema pythagoras
a² + b² = c²
x² + 15² = (x + 5)²
x² + 225 = x² + 10x + 25
x² - x² - 10x = 25 - 225
-10x = -200
x = -200 : -10
x = 20
Jadi Nilai x adalah 20
_______________________________
6. Tentukan panjang AB dari gambar berikut.
Penyelesaian:
Diketahui:
BC = 3 cm
CD = 4 cm
DA = 4 cm
Sehingga
AB² = CD² + (AD - BC)²
AB² = 4² + (4 - 3)²
AB² = 16 + 1
AB² = 17
AB = √17
Jadi Panjang AB = √17 cm
Penyelesaian untuk gambar b
Diketahui:
BC = 7 cm,
CD = 4 cm, dan
AD = 6 cm. Sehingga
BD² = BC² + CD²
BD² = 7² + 4²
BD² = 49 + 16
BD² = 65
BD = √65
Langkah selanjutnya
BD² = AB² + AD²
AB² = BD² - AD²
AB² = (√65)² - 6²
AB² = 65 - 36
AB² = 29
AB = √29
Jadi, panjang AB adalah √29 cm.
Penyelesaian gambar c
Diketahui:
AC = 3 cm,
CD = 5 cm, dan
BD = 1 cm
Semua titik kita hubungkan dan membentuk segi empat, sehingga
AF = BE = 3 + 1 = 4 cm.
CD = AE = BF = 5 cm.
Langkah selanjutnya
AB² = AE² + BE²
AB² = 5² + 4²
AB² = 25 + 16
AB² = 41
AB = √41
Jadi, panjang AB adalah √41 cm.
_______________________________
7. Diketahui persegi panjang ABCD dan P merupakan titik di dalam persegi panjang. Jika PC = 8 cm, PD = 4 cm, dan PB = 7 cm, maka PA adalah ....
Penyelesaian:
Diketahui
PC = 8 cm
PD = 4 cm
PB = 7 cm
Ditanyakan
PA = ... ?
Jawab
Dengan menggunakan teorema pythagoras:
PC² = b² + c² ⇒ (segitiga siku-siku warna kuning)
PD² = a² + c² ⇒ (segitiga siku-siku warna merah muda)
PB² = b² + d² ⇒ (segitiga siku-siku warna hijau)
PA² = a² + d² ⇒ (segitiga siku-siku warna biru)
b² + c² = PC²
b² + c² = 8²
b² + c² = 64
b² = 64 – c² ........ persamaan (1)
Substitusikan persamaan (1) ke PB²
b² + d² = PB²
b² + d² = 7²
(64 – c²) + d² = 49
d² = c² – 64 + 49
d² = c² – 15 ........... persamaan (2)
a² + c² = PD²
a² + c² = 4²
a² + c² = 16
a² = 16 – c² ......... persamaan (3)
Substitusikan persamaan (2) dan persamaan (3) ke PA²
PA² = a² + d²
PA² = (16 – c²) + (c² – 15)
PA² = 16 – 15
PA² = 1
PA = √1
PA = 1
Jadi panjang PA = 1 cm
_______________________________
8. Seorang yang bernama Bhaskara menyusun sebuah persegi dan empat buah segitiga siku-siku yang memiliki panjang sisi yang sama yaitu a, b dan c kedalam sebuah persegi yang mempunyai panjang sisi c.
a. Tunjukkan bagaimana kelima potong bangun datar yang disusun pada gambar bagian tengah dapat disusun untuk mengisi bangun yang paling kanan.
b. Jelaskan bagaimana teorema Pythagoras termuat dalam pertanyaan a.
Penyelesaian:
A. dua buah segitiga siku siku yang memiliki panjang sisi identik, jika digabungkan akan membentuk bangun persegi panjang. anggap lah luas segitiga adalah a dan luas persegi yang akan diisi adalah b. untuk mengisi 2 persegi atau 2b diperlukan empat buah segitiga siku -siku atau 4a maka hubungannya menjadi b=2a
b. teorama phytagoras menyatakan bahwa panjang sisi segitiga siku siku memiliki pola. misal sisi miring adalah 5 dan sisi lainnya adalah 3 dan 4. teorama ini menandakan dengan segitiga siku siku yang identik atau sama. maka akan didapat sebuah persegi panjang yang sempurna dengan garis miring yang saling bertemu atau berhimpitan.
_______________________________
9. Perhatikan gambar dua persegi di samping. Panjang sisi persegi besar adalah 15 cm. Luas persegi kecil adalah 25 cm2. Tentukan nilai x.
Penyelesaian:
Tinggi = 15....tinggi (sisi segiempat besar sama)
luas segiempat kecil = sisi x sisi
25cm2= 5 x 5..jadi sisi sigiempat kecil = 5
lebar= 15 + 5 = 20 ...jadi diagonal ;
diagonal²=lebar² + tinggi²
x² = 20² + 15²
= 400 +225
X²=625
x =25
_______________________________
10. Perhatikan gambar di samping. Diketahui ∆ABC siku-siku di B dengan panjang AC = 40 cm dan BC = 24 cm. Titik D terletak pada AB sedemikian sehingga CD = 25 cm. Panjang AD = ... cm.
Penyelesaian:
Diketahui:
Segitiga ABC siku-siku di B
panjang AC = 40 cm
panjang BC = 24 cm
Titik D terletak pada AB sedemikian sehingga CD = 25 cm.
Ditanyakan:
Panjang AD adalah ….
Jawab:
Perhatikan gambar terlampir.
Garis CD akan membentuk segitiga BCD siku-siku di B.
Untuk segitiga ABC siku-siku di B:
AB² = AC² – BC²
= 40² – 24²
= 1.600 – 576
= 1.024
AB = √1.024 = 32 cm
Untuk segitiga BCD siku-siku di B:
BD² = CD² – BC²
= 25² – 24²
= 625 – 576
= 49
BD = √49 = 7 cm
Titik D pada AB, maka:
AD = AB – BD
= 32 – 7
= 25 cm
Jadi, panjang AD adalah 25 cm
_______________________________
Halaman 11-13
Bab 6 (Teorema Pythagoras)
Matematika (MTK)
Kelas 8 SMP/MTS
Semester 2 K13
1. Gunakan teorema Pythagoras untuk menentukan nilai yang belum diketahui pada masing-masing gambar berikut.
[Soal-a]
Nilai x sebagai panjang sisi miring, sehingga
x² = 12² + 15²
Diperoleh nilai x = 3√41 satuan panjang
[Soal-b]
Nilai x sebagai salah satu panjang sisi penyiku, sehingga
x² = 13² - 5²
Diperoleh nilai x = 12 satuan panjang
[Soal-c]
Nilai a sebagai salah satu panjang sisi penyiku, sehingga
a² = (10,6)² - (5,6)²
Diperoleh nilai a = 9 inci.
[Soal-d]
Nilai a sebagai salah satu panjang sisi penyiku, sehingga
a² = (10,4)² - (9,6)²
Diperoleh nilai a = 4 m.
[Soal-e]
Nilai x sebagai salah satu panjang sisi penyiku, sehingga
x² = (8)² - (6)²
Diperoleh nilai x = 2√7 satuan panjang
[Soal-f]
Nilai c sebagai panjang sisi miring, sehingga
c² = (7,2)² + (9,6)²
Diperoleh nilai c = 12 kaki.
_______________________________
2. Tujuan dipasangkan kawat bubut pada suatu tiang telepon adalah untuk menopangnya. Kawat bubut dipasang pada tiang telepon setinggi 8 meter dari tanah.
b. Tentukan panjang kawat jika jarak antara kawat dan tiang pada tanah adalah 6 meter.
Penyelesaian:
a. Tanah yang datar dan tiang listrik membentuk sudut siku-siku, maka bangun yang terbentuk adalah segitiga siku-siku.
Pada segitiga siku-siku bisa kita terapkan pyhtagoras untuk mencari panjang sisi yg lain tanpa harus mengukur langsung.
b. misalkan : a = tinggi tiang yg dipasang kawat dari tanah
b = jarak pada tanah
c = panjang kawat bubut
c² = a² + b²
c² = 8² + 6²
= 64 + 36
= 100
c = √100
c = 10 m
Jadi panjang kawat bubut adalah 10 m
_______________________________
Diketahui:
Sisi Miring (sisi terpanjang) = 20 cm → c
Sisi lainnya = 12 cm → a
Ditanya:
Nilai x = ... ? → b
Jawab:
Untuk menyelesaiakan gunakan rumus teorema Pythagoras.
a² + b² = c²
12² + x² = 20²
144 + x² = 400
x² = 400 - 144
x² = 256
x = √256
x = 16 cm
Jadi Nilai x pada gambar pertama adalah 16 cm
Gambar kedua
perhatikan gambar kedua, terdapat 2 segitiga siku-siku, yaitu segitiga siku-siku kecil dan besar.
kita selesaiakan segitiga kecil terlebih dahulu
Diketahui:
Sisi terpanjang (sisi miring) pada segitiga kecil = 13 mm
Sisi yang lain = 5 mm
Ditanya:
sisi tegak = ... ?
Jawab:
Sisi tegak = √(13² - 5²)
= √(169 - 25)
= √144
= 12 mm
Langkah selanjutnya, perhatikan segitiga besar
Diketahui:
Sisi tegak = 12 mm
Sisi mendatar = 35 mm
Ditanya:
Sisi miring (x) = ... ?
Jawab:
x = √(35² + 12²)
= √(1225 + 144)
= √1369
= 37 mm
Jadi nilai x pada gambar kedua adalah 37 mm
_______________________________
Penyelesaian:
Diketahui a = 9 cm, b = 12 cm, dan c = 18 cm.
a² + b² = c²
⇔ 9² + 12² = c²
⇔ 81 + 144 = c²
⇔ c² = 225
⇔ c = 15
Jadi, suatu segitiga yang panjang ketiga sisinya berturut-turut 9 cm, 12 cm, dan 18 cm bukan segitiga siku-siku.
_______________________________
Penyelesaian:
Diketahui:
Sisi" segitiga siku" adalah x, 15 dan x + 15
Ditanya:
Nilai x = ... ?
Jawab:
Penyelesaian soal ini menggunakan teorema pythagoras
a² + b² = c²
x² + 15² = (x + 5)²
x² + 225 = x² + 10x + 25
x² - x² - 10x = 25 - 225
-10x = -200
x = -200 : -10
x = 20
Jadi Nilai x adalah 20
_______________________________
Diketahui:
BC = 3 cm
CD = 4 cm
DA = 4 cm
Sehingga
AB² = CD² + (AD - BC)²
AB² = 4² + (4 - 3)²
AB² = 16 + 1
AB² = 17
AB = √17
Jadi Panjang AB = √17 cm
Penyelesaian untuk gambar b
Diketahui:
BC = 7 cm,
CD = 4 cm, dan
AD = 6 cm. Sehingga
BD² = BC² + CD²
BD² = 7² + 4²
BD² = 49 + 16
BD² = 65
BD = √65
Langkah selanjutnya
BD² = AB² + AD²
AB² = BD² - AD²
AB² = (√65)² - 6²
AB² = 65 - 36
AB² = 29
AB = √29
Jadi, panjang AB adalah √29 cm.
Penyelesaian gambar c
Diketahui:
AC = 3 cm,
CD = 5 cm, dan
BD = 1 cm
Semua titik kita hubungkan dan membentuk segi empat, sehingga
AF = BE = 3 + 1 = 4 cm.
CD = AE = BF = 5 cm.
Langkah selanjutnya
AB² = AE² + BE²
AB² = 5² + 4²
AB² = 25 + 16
AB² = 41
AB = √41
Jadi, panjang AB adalah √41 cm.
_______________________________
Diketahui
PC = 8 cm
PD = 4 cm
PB = 7 cm
Ditanyakan
PA = ... ?
Jawab
Dengan menggunakan teorema pythagoras:
PC² = b² + c² ⇒ (segitiga siku-siku warna kuning)
PD² = a² + c² ⇒ (segitiga siku-siku warna merah muda)
PB² = b² + d² ⇒ (segitiga siku-siku warna hijau)
PA² = a² + d² ⇒ (segitiga siku-siku warna biru)
b² + c² = PC²
b² + c² = 8²
b² + c² = 64
b² = 64 – c² ........ persamaan (1)
Substitusikan persamaan (1) ke PB²
b² + d² = PB²
b² + d² = 7²
(64 – c²) + d² = 49
d² = c² – 64 + 49
d² = c² – 15 ........... persamaan (2)
a² + c² = PD²
a² + c² = 4²
a² + c² = 16
a² = 16 – c² ......... persamaan (3)
Substitusikan persamaan (2) dan persamaan (3) ke PA²
PA² = a² + d²
PA² = (16 – c²) + (c² – 15)
PA² = 16 – 15
PA² = 1
PA = √1
PA = 1
Jadi panjang PA = 1 cm
_______________________________
b. Jelaskan bagaimana teorema Pythagoras termuat dalam pertanyaan a.
Penyelesaian:
A. dua buah segitiga siku siku yang memiliki panjang sisi identik, jika digabungkan akan membentuk bangun persegi panjang. anggap lah luas segitiga adalah a dan luas persegi yang akan diisi adalah b. untuk mengisi 2 persegi atau 2b diperlukan empat buah segitiga siku -siku atau 4a maka hubungannya menjadi b=2a
b. teorama phytagoras menyatakan bahwa panjang sisi segitiga siku siku memiliki pola. misal sisi miring adalah 5 dan sisi lainnya adalah 3 dan 4. teorama ini menandakan dengan segitiga siku siku yang identik atau sama. maka akan didapat sebuah persegi panjang yang sempurna dengan garis miring yang saling bertemu atau berhimpitan.
_______________________________
Tinggi = 15....tinggi (sisi segiempat besar sama)
luas segiempat kecil = sisi x sisi
25cm2= 5 x 5..jadi sisi sigiempat kecil = 5
lebar= 15 + 5 = 20 ...jadi diagonal ;
diagonal²=lebar² + tinggi²
x² = 20² + 15²
= 400 +225
X²=625
x =25
_______________________________
Diketahui:
Segitiga ABC siku-siku di B
panjang AC = 40 cm
panjang BC = 24 cm
Titik D terletak pada AB sedemikian sehingga CD = 25 cm.
Ditanyakan:
Panjang AD adalah ….
Jawab:
Perhatikan gambar terlampir.
Garis CD akan membentuk segitiga BCD siku-siku di B.
Untuk segitiga ABC siku-siku di B:
AB² = AC² – BC²
= 40² – 24²
= 1.600 – 576
= 1.024
AB = √1.024 = 32 cm
Untuk segitiga BCD siku-siku di B:
BD² = CD² – BC²
= 25² – 24²
= 625 – 576
= 49
BD = √49 = 7 cm
Titik D pada AB, maka:
AD = AB – BD
= 32 – 7
= 25 cm
Jadi, panjang AD adalah 25 cm
_______________________________
