Jawaban Uji Kompetensi 9.2 Bab 9 Matematika Kelas 11 Halaman 102 (Lingkaran)

Uji Kompetensi 9.2 Bab 9 (lingkaran)
Halaman 102
Matematika (MTK)
Kelas XI (11) SMA/SMK/MAK

Semester 2 K13

1. Tentukanlah nilai C agar garis y = x + C menyinggung lingkaran x² +y² = 25
Jawab:
substitusikan y = x + c ke lingkaran x² +y² = 25
x² +(x+c)² = 25
x² + x² + 2 cx + c²-25= 0
2x² + 2c x + (c² - 25) = 0
Syarat menyinggung D = 0 --> b² = 4 ac
(2c)² = 4(2)(c² - 25)
4c² = 8c² - 200
-4c² = - 200
c² = 50
c = √50
c = 5√2 atau -5√2
______________________________________________

2. Berapakah nilai r jika r positif dan x + y = r menyinggung lingkaran x2 + y2 = r?
Jawab:
Anggaplah:
x = r - y
Sehingga,
Substitusikan pada persamaan:
x² + y² = r
(r-y)² + y² = r
r² - 2ry + y² + y² = r
2y² - 2ry + r²-r = 0
Syarat menyinggung, D = 0
(-2r)² - 4(2)(r²-r) = 0
4r² - 8r² + 8r = 0
-4r² + 8r = 0
-4(r² - 2r) = 0
r² - 2r = 0
r(r - 2) = 0
r = 0 (Tidak positif)
r = 2 (Memenuhi)
______________________________________________

3. Tentukanlah gradien garis singgung jika kedua garis lurus yang ditarik dari titik (0, 0) dan menyinggung sebuah lingkaran dengan persamaan x² + y² – 6x + 2y + 5 = 0!
Jawab:
Menggunakan garis polar:
x₁x + y₁y - 3(x+x₁) + 1(y+y₁) + 5 = 0
Melalui (0,0)
0x + 0y - 3(x+0) + y+0 + 5 = 0
-3x + y + 5 = 0
y = 3x - 5

Sehingga, tentukan titik potongnya terhadap lingkaran:
x² + (3x-5)² - 6x + 2(3x-5) + 5 = 0
x² + 9x² - 30x + 25 - 6x + 6x - 10 + 5 = 0
10x² - 30x + 20 = 0
10(x² - 3x + 2) = 0
x² - 3x + 2 = 0
(x-1)(x-2)
Dengan substitusi y = 3x-5
Didapat titik:
(1,-2) dan (2,1)
Sehingga, gradiennya dengan y/x (Karena melalui (0,0))
m = -1/2
m = 2
______________________________________________

4. Tentukanlah persamaan garis yang sejajar dengan x – 2y = 0 dan membagi lingkaran x2 + y2 + 4x + 3 = 0 menjadi dua bagian yang sama!
Jawab:
x²+y²+4x+3=0 titik pusat (-2,0)
x-2y=0 gradien m = 1/2 krn sejajar mk garis yg dicari gradiennya jg m1/2

grs tsb melalui titik pusat(-2,0)

y-0=1/2(x-(-2))
y=1/2(x+2)
y=1/2x+1
______________________________________________

5. Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0 melalui titik (6, –6)!
Jawab:
x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0
x² - 4x + y² + 6y        = 12
x² - 4x + 4 + y² + 6y + 9 = 12 + 4 + 9
(x - 2)² + (y + 3)²      = 25

persamaan garis singgung lingkaran di titik (6,-6)
(x₁ - a) (x - a) + (y₁ - b) (y - b) = r²
(x₁ - 2) (x - 2) + (y₁ + 3) (y + 3) = 25
(6 - 2) (x - 2) + (-6 + 3) (y + 3) = 25
4 (x - 2) - 3 (y + 3) = 25
4x - 8 - 3y - 9 - 25 = 0
4x - 3y - 42 = 0
______________________________________________

6. Jika lingkaran x² + y² – 2ax + 6y + 49 = 0 menyinggung sumbu x, tentukanlah nilai a!
Jawab:
menyinggung sb-x maka y = 0
substitusikan y = 0 ke persamaan lingkaran
  x² + y² - 2ax + 6y + 49 = 0
x² + 0² - 2ax + 6(0) + 49 = 0
                x² - 2ax + 49 = 0

syarat menyinggung sb x --> D = 0
         b² - 4ac = 0
(-2a)² - 4.1.49 = 0
       4a² - 196 = 0 --> kedua ruas dibagi 4
          a² - 49 = 0
(a + 7) (a - 7) = 0
a = -7 atau a = 7
______________________________________________

7. Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di (3, 4) dan menyinggung sumbu x kemudian tentukan persamaan lingkaran hasil pencerminan lingkaran terhadap gaaris y = – x !
Jawab:
Persamaan awal = krn menyinggung sb x, Maka r= y (x-3)*2 + (y-4)*2 = 16 X*2- 6x +9 + y*2 -8y+16 -16 =0 X*2+y*2-6x-8y +9 =0 Pencerminan y= -x, artinya x= -x' Y = -y' Substitusi menjadi X*2 + y*2 + 6 x +8y +9 =0
______________________________________________

8. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 4 bergradien 1!
Jawab:
diketahui
m=1
r  =√4 =2

persamaan garis singgung lingkaran 
y = mx ± r √m² +1
y = x ± 2 √1² + 1
y = x ± 2 √2


y= x +2√2   atau   y= x-2√2
______________________________________________

9. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang melalui titik (–3, –4)!
Jawab:
x² + y² = 25

pusat = (0, 0)
jari-jari = √25 = 5 satuan panjang

persamaan garis singgung = tegak lurus diameter lingkaran
garis diameter yang melewati (0, 0) dan (-3, -4) :

y - y1 = x - x1
y2-y1    x2-x1

y - 0 = x - 0
-4 - 0  -3 -0

y / -4 = x / -3

-3y = -4x
3y = 4x
y = 4/3x

y = mx + c
m = 4/3
karena tegak lurus :
m1 . m2 = -1
4/3 . m2 = -1
m2 = -3/4

persamaan garis :
y - b = m(x - a)
y - (-4) = -3/4(x - (-3))
y + 4 = -3/4(x + 3)
y + 4 = -3/4x - 9/4
4y + 16 = -3x - 9
4y = -3x - 9 - 16
4y = -3x - 25
y = -3/4 x - 25/4
atau
4y + 3x = -25
atau
4y + 3x + 25 = 0
______________________________________________

10. Tentukanlah nilai q jika diberikan garis x + y = q, menyinggung lingkaran x2 + y2 = 8 di titik A pada kuadran pertama!
Jawab:
Menyinggung di kuadran pertama.
Dengan gradien -1, pusat lingkaran (0,0) dan r = √8.

Maka, persamaan garis singgungnya adalah:
y = mx ± r√[1+m²]
y = (-1)x ± √8.√[1+(-1)²]
y = -x ± √8. √2
y = -x ± √16
y = -x ± 4

Karena y = -x - 4 menyinggung lingkaran di kuadran III.

Maka, gunakan garis singgung yang lain, yakni y = -x + 4 atau x + y = 4

Sehingga, nilai q = 4. 
______________________________________________

11. Tentukanlah nilai k, jika titik (–5, k) terletak pada lingkaran x² + y² + 2x – 5y – 12 = 0!
Jawab:
Karena (-5,k) terletak pada lingkaran, maka:
(-5)² + k² + 2(-5) - 5k - 21 = 0
<=> 25 + k² - 10 - 5k - 21 = 0
<=> k² - 5k - 6 = 0
<=> (k - 6)(k + 1) = 0

<=> k = 6 atau k = -1
______________________________________________

12. Tentukanlah nilai C agar garis y = x + C menyinggung lingkaran x² + y² = 25!
Jawab:
substitusikan y = x + c ke lingkaran x² +y² = 25
x² +(x+c)² = 25
x² + x² + 2 cx + c²-25= 0
2x² + 2c x + (c² - 25) = 0
Syarat menyinggung D = 0 --> b² = 4 ac
(2c)² = 4(2)(c² - 25)
4c² = 8c² - 200
-4c² = - 200
c² = 50
c = √50
c = 5√2 atau -5√2
______________________________________________

13. Tentukanlah persamaan garis lurus yang melalui pusat lingkaran x² + y² – 2x – 4y + 2 = 0 tegak lurus garis 2x – y + 3 = 0!

Jawab:
x² + y² - 2x - 4y + 2 = 0
x² - 2x + y² - 4y       = - 2
x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4 = - 2 + 1 + 4
(x - 1)² + (y - 2)² = 3  -----> pusat (1 , 2)
grs 2x - y + 3  ----> m = 2
karena tegak lurus ----> m = 
                                   melalui titik pusat (1 , 2)
y - b = m (x - a)
y - 2 = (x - 1) -----  kalikan dengan 2
2y - 4 = - x + 1
 x + 2y - 4 - 1 = 0
 x + 2y - 5 = 0
jadi, persamaan garis yang dimaksud adalah  x + 2y - 5 = 0
______________________________________________