Jawaban Esai Ayo Kita Berlatih 7.4 Bab 7 MTK Halaman 104 Kelas 8 (Lingkaran)

Ayo Kita Berlatih 7.4
Halaman 102-103-104
B. Esai/essay/uraian
Bab 7 (Lingkaran)
Matematika (MTK)
Kelas 8 SMP/MTS
Semester 2 K13

B. Esai
1. Diketahui jarak antara pusat lingkaran A dan B adalah 10 cm. Lingkaran A dan B memiliki jari-jari berturut-turut 11 cm dan 3 cm. Tentukan:
a. panjang garis singggung persekutuan luarnya (jika ada);
b. sketsa gambarnya (lengkap dengan garis singgung persekutuan luarnya, jika ada).
Penyelesaian:
Diketahui : 
jarak pusat lingkaran AB = 10 cm
jari-jari A = 11 cm
jari-jari B = 3 cm

Ditanya : 
a.  panjang garis singgung persekutuan luar
b.  sketsa gambar garis singgung persekutuan luar

Jawab : 
a.  panjang garis singgung persekutuan luar
     garis singgung persekutuan luar kita beri nama CD

CD² = AB² - (AD - BC)²
       = 10² - (11 - 3)²
       = 10² - 8²
       = 100 - 64
       = 36 
 CD = √36
       = 6 cm

Jadi panjang garis singgung persekutuan luar adalah 6 cm

b.  Sketsa gambar garis singgung persekutuan luar bisa dilihat pada lampiran.


__________________________

2. Diketahui panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran C dan D adalah 24 cm. Jari-jari lingkaran C dan D berturut-turut 15 cm dan 8 cm. Tentukan:
a. jarak pusat kedua lingkaran tersebut (jika ada);
b. jarak kedua lingkaran tersebut (jika ada).
Penyelesaian:
KLIK DISINI untuk melihat jawaban
__________________________

3. Diketahui jarak antara lingkaran E dan F adalah 5 cm. Lingkaran E dan F memiliki jari-jari berturut-turut 13 cm dan 4 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut. (jika ada)
Penyelesaian:
KLIK DISINI untuk melihat jawaban
__________________________

4. Diketahui jumlah diameter lingkaran G dan H adalah 30 cm. Panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 24 cm. Sedangkan jarak kedua pusat lingkaran tersebut adalah 26 cm. Tentukan:
a. jari-jari kedua lingkaran tersebut,
b. jarak kedua lingkaran.
Penyelesaian:
KLIK DISINI untuk melihat jawaban
__________________________

5. Diketahui jarak pusat lingkaran I dan J adalah 12 cm. Lingkaran I memiliki jari-jari 8 cm. Tentukan jari-jari J maksimal agar terdapat garis singgung persekutuan luar antara lingkaran I dan J. Jelaskan alasanmu.
Penyelesaian:
Diketahui
Jari-jari lingkaran I = 8 cm
Jarak kedua pusat lingkaran I dan J = 12 cm

Ditanya
Jari-jari J maksimal agar terdapat garis singgung persekutuan luar antara lingkaran I dan J

Jawab
Meskipun sepintas kasus ini termasuk dalam materi Lingkaran kelas VIII, namun ternyata dapat dikategorikan ke dalam aplikasi Pertidaksamaan SMA.

Siapkan
Jarak antar pusat JP = 12 cm
r₁ = jari-jari lingkaran J
r₂ = jari-jari lingkaran I

Perhatikan skema gambar terlampir


Step-1
Rumus garis singgung persekutuan luar (GSPL)

Hubungan antara GSPL, JP (jarak antar pusat), dan jari-jari adalah


Anggap r₁ > r₂

Step-2
Syarat agar terdapat GSPL

Dari rumus di atas, syarat agar GSPL terdefinisikan adalah GSPL > 0
⇔ GSPL > 0
⇔ 

Selanjutnya, ingat syarat domain bagi fungsi di dalam akar kuadrat. Untuk  maka f(x) ≥ 0. 

⇔ 

Anggap r₂ sebagai jari-jari lingkaran terkecil, dalam hal ini r₂ = 8 cm 
⇔ 12² - (r₁ - 8)² ≥ 0
⇔ (r₁ - 8)² ≤ 12²
⇔ (r₁ - 8)² - 12² ≤ 0 ⇒ a² - b² = (a - b)(a + b)
⇔ (r₁ - 8 - 12)(r₁ - 8 + 12) ≤ 0
⇔ (r₁ - 20)(r₁ + 4) ≤ 0

Diperoleh r₁ = -4 dan r₂ = 20.
Uji tanda pada garis bilangan menghasilkan batas-batas nilai r₁, yakni
-4 ≤ r₁ ≤ 20.

Perhatikan, karena jari-jari lingkaran harus bernilai positif dan GSPL tidak mungkin sama dengan nol, batas-batas tersebut menjadi 0 < r₁ < 20.

Ingat
r₁ = jari-jari lingkaran J
r₂ = jari-jari lingkaran I

Kesimpulan:
Agar terdapat garis singgung persekutuan luar antara lingkaran I dan J, panjang jari-jari lingkaran J harus kurang dari 20 cm.  
Atau, dengan kata lain panjang jari-jari lingkaran J maksimal nilainya mendekati 20 cm.
__________________________